Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?

[maximkarimov]

Спасибо!

[Евгений Машеров]

Извините, чего-то не понял.
Общий член линейной рекуррентной последовательности выражается через степени корней характеристического многочлена. Коэффициенты при них выбираются, исходя из начальных условий. То есть, скажем, для приведенного выражения 4 порядка будет две пары корней, комплексно сопряжённых. Начальные условия можно выбрать так, чтобы коэффициенты при одной из пар корней были бы равны нулю. Тогда последовательность значений будет определяться другой парой корней и будет такой же, как для некоторого выражения 2 порядка.
Но как из этого следует, что мы сократили порядок последовательности? Мы лишь подобрали начальные значения так, чтобы знчения последовательности совпали бы со значениями последовательности меньшего порядка с также специально подобранными начальными значениями.

[kotenok gav]

Евгений Машеров в сообщении #1487596 писал(а):

Начальные условия можно выбрать так, чтобы коэффициенты при одной из пар корней были бы равны нулю. Тогда последовательность значений будет определяться другой парой корней и будет такой же, как для некоторого выражения 2 порядка.
Но как из этого следует, что мы сократили порядок последовательности? Мы лишь подобрали начальные значения так, чтобы знчения последовательности совпали бы со значениями последовательности меньшего порядка с также специально подобранными начальными значениями.

Нет, вы не поняли ТС, кажется: начальные условия исходной последовательности уже заданы.

[Евгений Машеров]

Как мне предствляется (возможно, и ощибочно) - не существует рекуррентных последовательностей порядка n и m $n>m$ таких, что вторая выдаёт ту же последовательность значений что и первая при всех возможных начальных значениях для первой, однако существуют такие начальные значения, что последовательность, выдаваемая первой, совпадет с последовательностью, выдаваемой второй.
По крайней мере для линейных это очевидно - общий член выражается через сумму корней характеристического многочлена в соответствующих степенях, и для последовательности большего порядка появляются дополнительные слагаемые. так что совпасть с последовательностью меньшего порядка можно, если только коэффициенты при них нули, а это возможно при специальном подборе начальных условий. В случае совпадющих корней коэффициент при кратном корне в степени n будет не постоянной, а полиномом от n