Вычисление интеграла от гипергеометрических функций

[novichok2018]

Пусть дана гипергеометрическая функция

$$ f(x)=1F2(1; 3/2+n,2+n; -x^2/4), $$

$n$ - натуральное число. Требуется вычислить до конца интеграл

$$ \int_0^\infty [f(x)]^2 dx. $$

МАТЕМАТИКА считает интеграл, выражает его через функции 3F2 в единице. Уверен, что они тоже считаются, упрощаются. Не хватает навыков (ума?) провести вычисление, прошу помощи у более опытных.

[Farest2]

Там же эти "3F2 в единице" -- просто конечные суммы простых похгаммеровских множителей. Сводим их к факториалам, затем сворачиваем в биномиальные коэффициенты и всё:

$$ \frac{2\pi (n+1)^2}{4n+3}. $$

[novichok2018]

Да не заметил спасибо. Минус эн же сверху два раза.

-- 19.09.2020, 08:43 --

Farest2 - спасибо Вам за помощь. Нужно было для рецензии на статью, в которой автор вычислял интегралы от квадратов остатков рядов Тэйлора для синуса и косинуса, они сводятся к таким интегралам, это один из них. Хотелось показать, что он вычислял руками, а можно на компе. С Вашей помощью подтверждается, что это так.

Вопрос: а можно выжать из МАТЕМАТИКИ формулы для конечных сумм, которые $3F2(...;1)$ - ?
Наверное, нужная начинка для работы с явной гипергеометрией у неё есть, нужно только уметь её подключить.

[Farest2]

Увы, я тоже руками. Mathematica разность ${}_3F_2$-функций упрощать отказалась, а заставить её я не умею. Пришлось к биномиальным коэффициентам самому всё сводить, а дальше она опять "смогла".

Есть статья by Michael Milgram на Архиве, где приведена табличка из более 400 случаев, когда ${}_3F_2(1)$ сворачивается, плюс несколько программ для Maple. К сожалению, автор не стал делать "обёртку" для этих программ, которая, получив пять параметров ${}_3F_2$-функции, сразу бы выдавала результат, если он присутствует в списке. Так что приходится листать этот файл, если вдруг. Хотя, конечно, это лучше, чем ничего.

[novichok2018]

Мильграм, Кратенхаллер - я знаю, спасибо. Хотелось бы полениться и заставить пакет поработать.

[kotenok gav]

Farest2 в сообщении #1483737 писал(а):

Есть статья by Michael Milgram на Архиве

Можно ссылку?

[Утундрий]

kotenok gav
Вероятно, https://arxiv.org/abs/1105.3126

[kotenok gav]

Спасибо!

[novichok2018]

За ссылку на Мильграма спасибо. Как оказалось, у меня есть предварительный вариант этой статьи 2006 года, ArXiv: math.CA/0603096, его почему то нет сейчас на архиве. Указанный выше вариант 2011 года содержит больше страниц и информации. Есть ещё полезная статья по той же теме https://arxiv.org/abs/math/0502276v1 .

[novichok2018]

Как сказать МА в команде Assuming , что $n$ -натуральное число? Может этого хватит, чтобы она упростила здесь?

[kotenok gav]

novichok2018 в сообщении #1483878 писал(а):

Как сказать МА в команде Assuming , что $n$ -натуральное число?

Assumptions -> (n > 0) && (n тут_знак_принадлежности Integers).

[Aritaborian]

kotenok gav в сообщении #1483887 писал(а):

n тут_знак_принадлежности Integers

Element[n, Integers].

[novichok2018]

не хочет слушаться упрямая железка

[kotenok gav]

FullSimplify[ваша_гипергеометрия, Assumptions -> ((n > 0) && Element[n, Integers])].

[Aritaborian]

kotenok gav, и чо, работает? Я третьего дня тоже пытался бить совой о пень, а также пнём о сову, но у Математики здесь затык.

f[x_] := Hypergeometric2F1[1, 3/2 + n, 2 + n, -x^2/4]
Integrate[f[x]^2, {x, 0, Infinity}, Assumptions -> ((n > 0) && Element[n, Integers])] // FullSimplify

Результат как-то не похож на упрощение (M12.1).