2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение17.09.2020, 21:22 


16/04/18
868
Пусть дана гипергеометрическая функция
$$
f(x)=1F2(1; 3/2+n,2+n; -x^2/4),
$$
$n$ - натуральное число. Требуется вычислить до конца интеграл
$$
\int_0^\infty [f(x)]^2 dx.
$$
МАТЕМАТИКА считает интеграл, выражает его через функции 3F2 в единице. Уверен, что они тоже считаются, упрощаются. Не хватает навыков (ума?) провести вычисление, прошу помощи у более опытных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 02:13 


26/04/11
72
Там же эти "3F2 в единице" -- просто конечные суммы простых похгаммеровских множителей. Сводим их к факториалам, затем сворачиваем в биномиальные коэффициенты и всё:
$$
\frac{2\pi (n+1)^2}{4n+3}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 08:35 


16/04/18
868
Да не заметил спасибо. Минус эн же сверху два раза.

-- 19.09.2020, 08:43 --

Farest2 - спасибо Вам за помощь. Нужно было для рецензии на статью, в которой автор вычислял интегралы от квадратов остатков рядов Тэйлора для синуса и косинуса, они сводятся к таким интегралам, это один из них. Хотелось показать, что он вычислял руками, а можно на компе. С Вашей помощью подтверждается, что это так.

Вопрос: а можно выжать из МАТЕМАТИКИ формулы для конечных сумм, которые $3F2(...;1)$ - ?
Наверное, нужная начинка для работы с явной гипергеометрией у неё есть, нужно только уметь её подключить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 10:28 


26/04/11
72
Увы, я тоже руками. Mathematica разность ${}_3F_2$-функций упрощать отказалась, а заставить её я не умею. Пришлось к биномиальным коэффициентам самому всё сводить, а дальше она опять "смогла".

Есть статья by Michael Milgram на Архиве, где приведена табличка из более 400 случаев, когда ${}_3F_2(1)$ сворачивается, плюс несколько программ для Maple. К сожалению, автор не стал делать "обёртку" для этих программ, которая, получив пять параметров ${}_3F_2$-функции, сразу бы выдавала результат, если он присутствует в списке. Так что приходится листать этот файл, если вдруг. Хотя, конечно, это лучше, чем ничего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 12:17 


16/04/18
868
Мильграм, Кратенхаллер - я знаю, спасибо. Хотелось бы полениться и заставить пакет поработать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 20:59 


21/05/16
4157
Аделаида
Farest2 в сообщении #1483737 писал(а):
Есть статья by Michael Milgram на Архиве

Можно ссылку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
kotenok gav
Вероятно, https://arxiv.org/abs/1105.3126

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 21:06 


21/05/16
4157
Аделаида
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 07:42 


16/04/18
868
За ссылку на Мильграма спасибо. Как оказалось, у меня есть предварительный вариант этой статьи 2006 года, ArXiv: math.CA/0603096, его почему то нет сейчас на архиве. Указанный выше вариант 2011 года содержит больше страниц и информации. Есть ещё полезная статья по той же теме https://arxiv.org/abs/math/0502276v1 .

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 10:24 


16/04/18
868
Как сказать МА в команде Assuming , что $n$ -натуральное число? Может этого хватит, чтобы она упростила здесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 12:21 


21/05/16
4157
Аделаида
novichok2018 в сообщении #1483878 писал(а):
Как сказать МА в команде Assuming , что $n$ -натуральное число?

Assumptions -> (n > 0) && (n тут_знак_принадлежности Integers).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 12:36 
Аватара пользователя


11/06/12
9910
лучший.магия.интрига
kotenok gav в сообщении #1483887 писал(а):
n тут_знак_принадлежности Integers
Element[n, Integers].

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 18:07 


16/04/18
868
не хочет слушаться упрямая железка

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 23:20 


21/05/16
4157
Аделаида
FullSimplify[ваша_гипергеометрия, Assumptions -> ((n > 0) && Element[n, Integers])].

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 23:34 
Аватара пользователя


11/06/12
9910
лучший.магия.интрига
kotenok gav, и чо, работает? Я третьего дня тоже пытался бить совой о пень, а также пнём о сову, но у Математики здесь затык.
Код:
f[x_] := Hypergeometric2F1[1, 3/2 + n, 2 + n, -x^2/4]
Integrate[f[x]^2, {x, 0, Infinity}, Assumptions -> ((n > 0) && Element[n, Integers])] // FullSimplify
Результат как-то не похож на упрощение (M12.1).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: maxal, Toucan, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group