2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение17.09.2020, 21:22 
Пусть дана гипергеометрическая функция
$$
f(x)=1F2(1; 3/2+n,2+n; -x^2/4),
$$
$n$ - натуральное число. Требуется вычислить до конца интеграл
$$
\int_0^\infty [f(x)]^2 dx.
$$
МАТЕМАТИКА считает интеграл, выражает его через функции 3F2 в единице. Уверен, что они тоже считаются, упрощаются. Не хватает навыков (ума?) провести вычисление, прошу помощи у более опытных.

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 02:13 
Там же эти "3F2 в единице" -- просто конечные суммы простых похгаммеровских множителей. Сводим их к факториалам, затем сворачиваем в биномиальные коэффициенты и всё:
$$
\frac{2\pi (n+1)^2}{4n+3}.
$$

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 08:35 
Да не заметил спасибо. Минус эн же сверху два раза.

-- 19.09.2020, 08:43 --

Farest2 - спасибо Вам за помощь. Нужно было для рецензии на статью, в которой автор вычислял интегралы от квадратов остатков рядов Тэйлора для синуса и косинуса, они сводятся к таким интегралам, это один из них. Хотелось показать, что он вычислял руками, а можно на компе. С Вашей помощью подтверждается, что это так.

Вопрос: а можно выжать из МАТЕМАТИКИ формулы для конечных сумм, которые $3F2(...;1)$ - ?
Наверное, нужная начинка для работы с явной гипергеометрией у неё есть, нужно только уметь её подключить.

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 10:28 
Увы, я тоже руками. Mathematica разность ${}_3F_2$-функций упрощать отказалась, а заставить её я не умею. Пришлось к биномиальным коэффициентам самому всё сводить, а дальше она опять "смогла".

Есть статья by Michael Milgram на Архиве, где приведена табличка из более 400 случаев, когда ${}_3F_2(1)$ сворачивается, плюс несколько программ для Maple. К сожалению, автор не стал делать "обёртку" для этих программ, которая, получив пять параметров ${}_3F_2$-функции, сразу бы выдавала результат, если он присутствует в списке. Так что приходится листать этот файл, если вдруг. Хотя, конечно, это лучше, чем ничего.

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 12:17 
Мильграм, Кратенхаллер - я знаю, спасибо. Хотелось бы полениться и заставить пакет поработать.

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 20:59 
Farest2 в сообщении #1483737 писал(а):
Есть статья by Michael Milgram на Архиве

Можно ссылку?

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 21:04 
Аватара пользователя
kotenok gav
Вероятно, https://arxiv.org/abs/1105.3126

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение19.09.2020, 21:06 
Спасибо!

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 07:42 
За ссылку на Мильграма спасибо. Как оказалось, у меня есть предварительный вариант этой статьи 2006 года, ArXiv: math.CA/0603096, его почему то нет сейчас на архиве. Указанный выше вариант 2011 года содержит больше страниц и информации. Есть ещё полезная статья по той же теме https://arxiv.org/abs/math/0502276v1 .

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 10:24 
Как сказать МА в команде Assuming , что $n$ -натуральное число? Может этого хватит, чтобы она упростила здесь?

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 12:21 
novichok2018 в сообщении #1483878 писал(а):
Как сказать МА в команде Assuming , что $n$ -натуральное число?

Assumptions -> (n > 0) && (n тут_знак_принадлежности Integers).

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 12:36 
Аватара пользователя
kotenok gav в сообщении #1483887 писал(а):
n тут_знак_принадлежности Integers
Element[n, Integers].

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 18:07 
не хочет слушаться упрямая железка

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 23:20 
FullSimplify[ваша_гипергеометрия, Assumptions -> ((n > 0) && Element[n, Integers])].

 
 
 
 Re: Вычисление интеграла от гипергеометрических функций
Сообщение20.09.2020, 23:34 
Аватара пользователя
kotenok gav, и чо, работает? Я третьего дня тоже пытался бить совой о пень, а также пнём о сову, но у Математики здесь затык.
Код:
f[x_] := Hypergeometric2F1[1, 3/2 + n, 2 + n, -x^2/4]
Integrate[f[x]^2, {x, 0, Infinity}, Assumptions -> ((n > 0) && Element[n, Integers])] // FullSimplify
Результат как-то не похож на упрощение (M12.1).

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group