Предложение по фундаментальной последовательности

[StepV]

Вводная часть. В современной физике микромира вакуум обладает энергией, элементарная частица при абсолютном нуле температуры все равно обладает неким полуквантом энергии и может колебаться у некоторого положения равновесия.
Основная часть. Если с этой точки зрения взглянуть на наш мат анализ, который мы используем при описании микромира, то возникает большой соблазн подправить определение фундаментальной последовательности. В определении фундаментальной последовательности утверждается, что для последовательности, сходящейся к некоему предельному элементу множества, для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такое N, что $\mid x_n - x_m \mid < \varepsilon$. Для математики микроуровня это определение хочется подкорректировать. После некоего $\hat o < \varepsilon$ мы не сможем получить сходящуюся последовательность точек, а получим случайно разбросанный набор в диапазоне $ | \hat o |< \varepsilon$. Фактически для самой величины $\varepsilon$ существует нижний предел, за который ее уменьшение теряет смысл.
Вопрос. Будет ли иметь смысл такое доопределение фундаментальной последовательности. Даст это возможность пересмотра математического аппарата используемого для описания микромира.

[Aritaborian]

Не будет. Не даст.

[mihaild]

StepV в сообщении #1483746 писал(а):

В определении фундаментальной последовательности утверждается, что для последовательности, сходящейся к некоему предельному элементу множества, для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такое N, что $\mid x_n - x_m \mid < \varepsilon$.

Нет, в определении фундаментальной последовательности это не утверждается. В определениях обычно вообще ничего не утверждается, а просто дается название какому-то классу объектов.
Правильное определение фундаментальной последовательности см. в любом хорошем учебнике математического анализа (например Зорича или Рудина).

[StepV]

mihaild в сообщении #1483752 писал(а):

StepV в сообщении #1483746 писал(а):

В определении фундаментальной последовательности утверждается, что для последовательности, сходящейся к некоему предельному элементу множества, для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такое N, что $\mid x_n - x_m \mid < \varepsilon$.

Нет, в определении фундаментальной последовательности это не утверждается. В определениях обычно вообще ничего не утверждается, а просто дается название какому-то классу объектов.
Правильное определение фундаментальной последовательности см. в любом хорошем учебнике математического анализа (например Зорича или Рудина).

Я взял за основу Морозова В.Д. "Введение в анализ", Определение 6.4. стр. 232. Хотя для краткости поста его сократил, но, если требуется точность, то приведу его полностью:
"Последовательность {$x_n$} называют фундаментальной, если для любого положительного числа $\varepsilon$ можно указать натуральное число N, такое, что абсолютное значение разности любых двух ее элементов с номерами, большим N, меньше $\varepsilon$, т.е. если
$ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N=N(\varepsilon) \in N: \forall m,n > N \quad |x_n-x_m|<\varepsilon$"
НО хотелось бы обсудить не то, кто точнее в посте напишет определение фундаментальной последовательности или не начинать лингвистический спор о том, внутри определения есть или нет утверждения. Есть вопрос, который задан и на который уже в двух комментариях никто не захотел обратить внимание. Повторю его. Если взять пространство со свойствами подобными физическому вакууму, то определение фундаментальной последовательности, возможно, надо корректировать. Насколько этот вопрос принципиален? На сколько существование нижнего предела для фундаментальной последовательности может сказаться на изменении определения пределов функций и производных для такого пространства.

[Red_Herring]

StepV в сообщении #1483764 писал(а):

Если взять пространство со свойствами подобными физическому вакууму, то определение фундаментальной последовательности, возможно, надо корректировать.

Пожалуйста, определите метрическое пространство "со свойствами подобными физическому вакууму".

[StepV]

Red_Herring в сообщении #1483766 писал(а):

Пожалуйста, определите метрическое пространство "со свойствами подобными физическому вакууму".

С моей точки зрения определение будет близким к этому:
$\rho(x,y) > 0$, при $\mid x_n - x_m \mid < \varepsilon \wedge (\varepsilon \geq \hat o)$ и $x \neq y$, для любых х, у $ \in$ M;
$\rho(x,y) = \varphi(\hat o) > 0$, при $\mid x_n - x_m \mid < \varepsilon \wedge (\varepsilon < \hat o)$ и $x \neq y$,
для любых х, у $ \in$ M, где $\varphi(\hat o)$ – случайная функция, выдающая значения в диапазоне $[0, \hat o]$;
$\rho(x,x) = \varphi(\hat o)$ для любых х $ \in$ M;
$\rho(x,y) =\rho(y,x)$;
$\rho(x,z) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)$ для любых x, y, z $ \in$ M

При $\hat o$ стремящемся к нулю, переходим к классическому случаю.

[Someone]

StepV в сообщении #1483764 писал(а):

Я взял за основу Морозова В.Д. "Введение в анализ", Определение 6.4. стр. 232. Хотя для краткости поста его сократил

Отсюда можно сделать вывод, что Вы не понимаете, что такое фундаментальная последовательность, потому что в противном случае у Вас не возникло бы желания его так "сократить".

[StaticZero]

StepV в сообщении #1483764 писал(а):

Если взять пространство со свойствами подобными физическому вакууму, то

тема отправится в пургаторий.

[StepV]

Someone в сообщении #1483773 писал(а):

StepV в сообщении #1483764 писал(а):

Я взял за основу Морозова В.Д. "Введение в анализ", Определение 6.4. стр. 232. Хотя для краткости поста его сократил

Отсюда можно сделать вывод, что Вы не понимаете, что такое фундаментальная последовательность, потому что в противном случае у Вас не возникло бы желания его так "сократить".

Отлично! Давайте поговорим о моем понимании фундаментальной последовательности. Чтобы существовала теория пределов, математики должны иметь возможность строить фундаментальные последовательности, т.к. только они обеспечивают сходимость к предельным значениям. Любая сходящаяся к пределу последовательность - это фундаментальная последовательность.
Вот где-то так. Может поможете мне исправить мировозрение, если в чем ошибся?

[mihaild]

StepV в сообщении #1483770 писал(а):

определение будет близким к этому

Там выписаны какие-то свойства. Неплохо бы для начала перечислить, какие структуры / функции заданы на этом пространстве, а потом уже выписывать их свойства.
В любом случае, выписанные условия сильно упрощаются. Например

StepV в сообщении #1483770 писал(а):

$\rho(x,y) > 0$, при $\mid x_n - x_m \mid < \varepsilon \wedge (\varepsilon \geq \hat o)$ и $x \neq y$,

(если по $\varepsilon$ стоит квантор существования, иначе это вообще нельзя прочитать) эквивалентно $x \neq y \rightarrow \rho(x, y) > 0$.

StepV в сообщении #1483764 писал(а):

Хотя для краткости поста его сократил

И в результате у вас получилась формулировка, которая больше напоминает теорему "сходящаяся последовательность фундаментальна", чем определение фундаментальной последовательности.

[StepV]

mihaild в сообщении #1483788 писал(а):

Там выписаны какие-то свойства.

Я слишком поспешил с ответом на пост в 13:49, поэтому написал несколько неправильно вместо |$x_n-x_m$| должно быть |$x-y$|, и попробую упростить и уточнить формулировки в виде текстов, чтобы не было у меня двусмысленности:

Предварительные определения для метрического пространства:
$\rho(x,y)$ - числовая функция, задающая расстояние между точками x, y пространства M;
$\hat o$ = const - минимальное расстояние между точками, на котором может быть использована функция $\rho(x,y)$,
$\varphi(\hat o)$ - функция, выдающая случайные значения расстояния для х, у в диапазоне $[0, \hat o]$ для $\mid x - y \mid < \hat o$;

Первое свойство метрического пространства разбивается на следующие два свойства:
1). Если $\mid x - y \mid \geq \hat o$, то $\rho(x,y) =\rho(y,x)$;
2). Если $\mid x - y \mid < \hat o$, то $\rho(x,y) \neq \rho(y,x)$ и $\rho(x,y) = \varphi(\hat o)$
Расстояние для одной точки измеряется через $\varphi(\hat o)$.
3). $\rho(x,x) = \varphi(\hat o)$ для любых х $ \in$ M;
Это определение остается стандартным.
4). $\rho(x,z) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)$ для любых x, y, z $ \in$ M

Надеюсь, что это определение получилось более точным.

mihaild в сообщении #1483788 писал(а):

Неплохо бы для начала перечислить, какие структуры / функции заданы на этом пространстве, а потом уже выписывать их свойства.

Подскажите, какие структуры надо определять? Пытаться описывать метрическое пространство?

[mihaild]

StepV в сообщении #1483799 писал(а):

функция, выдающая случайные значения

Не знаю, что такое "функция, выдающая случайные значения". Возможно, имелась в виду функция, определенная на $X \times \Omega$, где $\Omega$ - вероятностное пространство (а $X$ - мне совсем непонятно что).

StepV в сообщении #1483799 писал(а):

для $\mid x - y \mid < \hat o$;

А что такое $|\cdot|$?

StepV в сообщении #1483799 писал(а):

Подскажите, какие структуры надо определять?

Посмотрите, как обычно определяется метрическое пространство, вероятностное пространство, кольцо и т.д. Например, кольцо - это тройка $(M, +. \cdot)$, где $M$ - множество (носитель кольца), $+$ и $\cdot$ - бинарные операции на $M$ (т.е. функции $M \times M \to M$), удовлетворяющие нужным свойствам - например $\exists e \in M \forall x \in M: e + x = x$.

[kotenok gav]

StepV в сообщении #1483799 писал(а):

$\varphi(\hat o)$ - функция, выдающая случайные значения расстояния для х, у в диапазоне $[0, \hat o]$ для $\mid x - y \mid < \hat o$;

Кажется, вы не знаете, что такое функция.

[StepV]

Спасибо, что задаете вопросы. Надеюсь постепенно мы придем к полной ясности в вопросе.

mihaild в сообщении #1483811 писал(а):

Не знаю, что такое "функция, выдающая случайные значения".

Попытаюсь сделать следующим образом, под ваши вопросы буду расширять свой последний пост, чтобы в каждом посте было сообщение имеющее законченный смысл.
Итак, при работе на субатомных расстояниях у нас появляется неопределенность в координатах и импульсе частицы, плюс на полном серьезе в квантовой теории поля появляются эффекты поляризации вакуума и перенормировки заряда. Все это приводит у физиков к некоему взгляду на пространство. Я пробую этот взгляд формализовать через понятия стандартных областей математики. Взглянуть на это с точки зрения теории метрических пространств и мат анализа. Самое интересное, что по этому направлению я вообще при поиске не видел никаких материалов в Интернете.

1). Фундаментальная последовательность. Столкновение с квантовой реальностью говорит, что определение фундаментальной последовательности необходимо модифицировать.
В классическом случае, если мы строим фундаментальную последовательность, то расстояние между членами последовательности монотонно уменьшается: 0.5L: 0.25L;... ; 0.005L и т.д.
В квантовом случае, когда мы переходим некоторый масштаб длины, который я обозначил $\hat o$ , то происходит слом последовательности. Например, если в относительных числах будем считать $\hat o = L$, то при разовом построении последовательности получим: 8L; 4L; 2L; L; 0.5L; 0.8L; 0.4L; 0.9L; 0.7L и т.д Монотонное уменьшение сменяется случайным блужданием.
Эти случайные значения я и пытался обозначить функцией $\varphi(\hat o)$. Фактически, это как бы аналог компьютерной функции RAND, которая при каждом обращении выдает случайное число. Считайте, что это изображение присваивания случайной величины значению расстояния между точками только с ограничением в границах.

Тогда предварительные определения для метрического пространства:
$\rho(x,y)$ - числовая функция, задающая расстояние между точками x, y пространства M;
$\hat o = \operatornameconst$ - минимальное расстояние между точками, на котором может быть использована функция $\rho(x,y)$, при расстояниях меньше каждое получаемое значение расстояния носит случайный характер.
$\varphi(\hat o)$ - функция(?может назвать как-то по другому, но в компьютере RAND ведь функция), выдающая случайное значение расстояния для х, у в диапазоне $[0, \hat o]$, когда расстояние $\mid x - y \mid < \hat o$;

mihaild в сообщении #1483811 писал(а):

А что такое $|\cdot|$?

$\mid x - y \mid $ - это модуль расстояния между точками x и y, повторюсь, что $\hat o$ - это эталон длины, с которого на значение расстояния между точками влияют случайные процессы.

Первое свойство метрического пространства разбивается на следующие два свойства:
1). Если $\mid x - y \mid \geq \hat o$, то $\rho(x,y) =\rho(y,x)$;
2). Если $\mid x - y \mid < \hat o$, то $\rho(x,y) \neq \rho(y,x)$ и $\rho(x,y) = \varphi(\hat o)$
Расстояние для одной точки измеряется через $\varphi(\hat o)$.
3). $\rho(x,x) = \varphi(\hat o)$ для любых х $ \in$ M;
Это определение остается стандартным.
4). $\rho(x,z) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)$ для любых x, y, z $ \in$ M

Надеюсь, что это определение получилось более точным.

mihaild в сообщении #1483811 писал(а):

Посмотрите, как обычно определяется метрическое пространство, вероятностное пространство, кольцо и т.д. Например, кольцо - это тройка $(M, +. \cdot)$, где $M$ - множество (носитель кольца), $+$ и $\cdot$ - бинарные операции на $M$ (т.е. функции $M \times M \to M$), удовлетворяющие нужным свойствам - например $\exists e \in M \forall x \in M: e + x = x$.

Ваша программа - это надолго. Я физик по образованию, а в эту область полез только инициативно, потому что заинтересовала реализация идеи. Интересно было бы попробовать сдвинуть идею с места. Например, я посмотрел ситуацию двух точек, у которых пересекаются диапазоны $\hat o$ и удивился, что сразу выплывает требование учета идентичности частиц так, как сделано в квантовой механике.
Если эта идея окажется стоящей, то дальше ей надо заниматься математикам, а не физикам.

-- 19.09.2020, 22:54 --

kotenok gav в сообщении #1483824 писал(а):

StepV в сообщении #1483799 писал(а):

$\varphi(\hat o)$ - функция, выдающая случайные значения расстояния для х, у в диапазоне $[0, \hat o]$ для $\mid x - y \mid < \hat o$;

Кажется, вы не знаете, что такое функция.

Нет! Просто гении живут на другой ветке!
Просто вы дверь перепутали, улицу, город и век.

[Red_Herring]

StepV в сообщении #1483841 писал(а):

Нет! Просто гении живут на другой ветке

А вам-то откуда знать, где живут гении?

StepV в сообщении #1483841 писал(а):

Просто вы дверь перепутали, улицу, город и век.

Да нет, перепутали вы, и перепутали таблетки.