Кинетическая энергия в координатах Якоби

[nortonouls]

Здравствуйте! Мне нужно найти импульс и кинетическую энергию в координатах Якоби

$$\vec \xi_n = \frac{m_1 \vec r_1+\dots+m_n\vec r_n}{m_1+\dots+m_n}-\vec r_{n+1}, \quad (n=1,\dots, N-1),$$

$$\vec \xi_N = \frac{m_1 \vec r_1+\dots+ m_N \vec r_N}{m_1+\dots+m_N }.$$

Ну, импульс, вроде как, находится легко

$$ \vec \xi_N = \frac{m_1 \vec r_1+\dots+ m_N \vec r_N}{m_1+\dots+m_N }= \frac{ \vec p_1+\dots+ \vec p_N}{m_1+\dots+m_N }= \frac{ \vec P}{m_1+\dots+m_N } \Rightarrow \boxed{ \vec P= \vec \xi_N \sum_i^N m_i} $$

А вот с кинетической энергией проблемы. Решил попробовать сделать это с помощью аппарата квадратичных форм (замена переменных в квадратичной форме), даже матрицу составил

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \frac{m_1}{m_1+m_2} & \frac{m_2}{m_1+m_2} & -1 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \frac{m_1}{m_1+m_2+m_3} & \frac{m_2}{m_1+m_2+m_3} & \frac{m_3}{m_1+m_2+m_3} & -1 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ \frac{m_1}{m_1+\dots+m_j} & \frac{m_2}{m_1+\dots+m_j} & \frac{m_3}{m_1+\dots+m_j} & \frac{m_4}{m_1+\dots+m_j} & \dots & \frac{m_j}{m_1+\dots+m_j} & -1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ \frac{m_1}{m_1+\dots+m_N} & \frac{m_2}{m_1+\dots+m_N} & \frac{m_3}{m_1+\dots+m_N} & \frac{m_4}{m_1+\dots+m_N} & \dots & \frac{m_j}{m_1+\dots+N} & \frac{m_{j+1}}{m_1+\dots+N} & \dots & \frac{m_N}{m_1+\dots+N} \end{pmatrix} $$

Попробовал обратить эту матрицу по методу Гаусса, чтобы получить матрицу перехода от $\vec r \to \vec \xi$, а затем по формуле $B=T^T A T $ найти нужную мне матрицу кинетической энергии $T(\xi) $ в новых координатах ($T$ - матрица перехода от $\vec r \to \vec \xi$, $A $ - матрица квадратичной формы $T(\vec r)$, $B$ - матрица квадратичной формы $T(\vec \xi) $). Однако очень быстро появились невменяемо огромные произведения, в которых не прослеживается какой-либо закономерности.

Помогите, пожалуйста, найти кинетическую энергию в новых координатах.

[EUgeneUS]

nortonouls в сообщении #1483495 писал(а):

импульс, вроде как, находится легко

А это ничего, что у Вас импульс не имеет размерности импульса?

[Утундрий]

Там производная на "ксях" потеряна. Но у меня другой вопрос: каких значений может достигать $N$ в разумных задачах? И.м.х.о. не слишком больших.

[nortonouls]

EUgeneUS в сообщении #1483510 писал(а):

nortonouls в сообщении #1483495 писал(а):

импульс, вроде как, находится легко

А это ничего, что у Вас импульс не имеет размерности импульса?

Утундрий в сообщении #1483524 писал(а):

Там производная на "ксях" потеряна. Но у меня другой вопрос: каких значений может достигать $N$ в разумных задачах? И.м.х.о. не слишком больших.

Да, прошу прощения, там точку забыл поставить над кси.

[amon]

Из воспоминаний (возможно, побитых склерозом). Переход к координатам Якоби сколько-нибудь осмыслен, если все силы внутренние. В этом случае центр масс ($\vec \xi_N = \frac{m_1 \vec r_1+\dots+ m_N \vec r_N}{m_1+\dots+m_N }$) движется равномерно и прямолинейно. Перейдем в систему центра масс $ \xi_N =0.$ Теперь можно последовательно выразить одно через другое "снизу вверх" (начав с $ \xi_{N-1}$).

[Утундрий]

Тут идея в иерархичности. Две звезды, а поодаль ещё одна, поменьше. А ещё дальше, вокруг этих трёх, планета. А ещё дальше - астероид. А совсем далеко - Могучий Вояджер. Но так сильно долго не по-раскладываешь. Откуда и вопрос о целесообразности получения решения для произвольных $N$.

[pogulyat_vyshel]

$$M_k=\sum_{s=1}^km_s,\quad R_k=\frac{\sum_{s=1}^km_sr_s}_{M_k}$$

$$r_k=\frac{1}{m_k}(M_kR_k-M_{k-1}R_{k-1}),\quad k=2,\ldots,N,\quad r_1=R_1$$

$$R_{N-j}=\xi_N+\sum_{s=1}^j\frac{m_{N-s+1}}{M_{N-s+1}}\xi_{N-s},\quad j=1,\ldots, N-1,\quad R_N=\xi_N$$