Это не известно. Я пытаюсь построить изоморфизм между линейными оболочками, чтобы доказать, что их размерности равны. Если бы я знал, что базисных строк и столбцов одинаковое количество, то равенство размерностей вытекало бы из этого факта по определению, и изоморфизм строить было бы не за чем.
Ну... я же не знаю, где заканчивается то, чего вы "виртуально" не знаете. Например, может быть, вы знаете, что размерности пространств строк и столбцов равны, а основную теорему про изоморфизм ЛП не знаете. Тогда мой метод хорошо работает.
Там надо предварительно несколько лемм доказать: размерности линейных оболочек систем строк и столбцов не меняются при элементарных преобразованиях матрицы, обе они равны количеству ненулевых строк в любой ступенчатой матрице, полученной из данной элементарными преобразованиями. А чтобы доказать последнее, надо доказать, что ненулевые строки ступенчатой матрицы линейно независимы и что столбцы этой матрицы, содержащие ведущие элементы, образуют базис системы столбцов. Короче говоря, все это дело не то чтобы в 1 строчку доказывается.
Ага, ну, можно и так, наверное. Можно это через операторы доказать. Тогда как бы поближе к вашему получится (т.к. явно находится тот и другой базисы). Но, опять же, тут получается "разминирование". На мой взгляд это будет естественный изоморфизм, скажем, а с вашей т.з. может оказаться, что и нет.
-- 16.09.2020, 18:27 --Я бы начал рассуждения с ответа на вопрос, как вообще доказывается изоморфизм ЛП, когда нужно его доказать. Ответ такой: изоморфизм ЛП доказывается двумя способами: прямым построением либо по критерию (равенство размерностей). В нашем случае второй метод отпадает, значит, нужно делать прямым построением. Других способов доказательства изоморфизма не существует, либо я их не знаю.
Проблема в том, что критерий, как мы знаем, это переформулированное определение. Особенно в данном случае, как и в некоторых других, они настолько тесно между собой связаны, настолько переформулировка минимальна, что, на мой взгляд, невозможно доказать изоморфизм по определению, при этом полностью обойдя критерий.
Нам надо построить изоморфизм двух пространств, но это в любом случае будет означать, что базис отображается в базис, а это уже, по сути, наш критерий. Тяжелую задачу вы поставили. Мне кажется, если в ней и есть смысл, то только расширение знаний об определениях и критериях, то есть о каких-то основах математики :)