Школьная задачка про круги

[juna]

При заданном диаметре большого круга найти площадь красной фигуры.

[EUgeneUS]

Как-то очень просто для олимпиадной...

[juna]

Школьная же))

Впрочем, если модераторы сочтут необходимым куда-то перенести, ничего против не имею. Утверждается, что красивых решений много, два знаю, может ещё что-то увижу.

[Gagarin1968]

juna

(Оффтоп)

Сколько лет, сколько зим!!! Куда Вы пропали на много лет? Рад Вашему возвращению!

А задача, действительно, решается довольно просто.

[TOTAL]

juna в сообщении #1483377 писал(а):

красивых решений много, два знаю

Какое второе?

[juna]

TOTAL в сообщении #1483395 писал(а):

Какое второе?

Нужно вначале договориться, что считать первым, что вторым

Будем считать, что решение, которое приведено в информационном источнике (это некий телеграмм-канал, где задача заявлена, как задача для 12-летних сингапурских школьников) - первым.
Второе включает 2 пункта:
1. Легко понять, что сумма площадей малых кругов без перекрытий равна площади большого круга. Значит сумма площадей перекрытий равна площади красной фигуры, обозначим их через $S$.

2.

Из правого рисунка видно, что площадь желтой фигуры равна площади синего квадрата, вписанного в малый круг.

Обозначим через $R$ - радиус большого круга, тогда имеем:

$$2\cdot S+4\cdot \frac{R^2}{2}=\pi\cdot R^2$$

$$S=\left (\frac{\pi}{2}-1\right )\cdot R^2$$

(Оффтоп)

Gagarin1968, спасибо за долгую память в мой адрес Приятно.
Мое решение мне показалось настолько естественным, что казалось чуть ли не единственным для 12-летних школьников, пока не посмотрел на изуитское решение в телеграмм-канале. Это и оказалось посылом репоста данной задачки...
Надеюсь не оказаться в положении - сам запостил, сам решил...

[EUgeneUS]

juna
Решал "в лоб", и решение не показалось иезуитским.

1. Площадь красной фигуры равна площади большого круга минус площадь четырех малых кругов плюс площадь перекрытия малых кругов. Так как радиус малых кругов ровно в два раза меньше радиуса большого, то получаем, что искомая площадь - площадь перекрытия малых кругов.

2. Перекрытие малых кругов - это восемь круговых сегментов. Угол, на котором построены сегменты, равен $\frac{\pi}{2}$

3. Считаем площадь сегмента, умножаем на восемь.

3б. Как вариация - можно догадаться, что площадь четырех сегментов равна разнице площади малого круга и площади вписанного в него квадрата.

[FEBUS]

$ S= \pi R^2-R^2 - 2\pi\dfrac{R^2}{4}=\left( \dfrac{\pi}{2}-1 \right)R^2. $

[juna]

FEBUS

Да, это первое решение (которое я назвал иезуитским, потому что оно хоронит все попытки посчитать эти сегменты внутри квадрата и красивое замечание про совпадение площади этих перекрытий искомому)))

EUgeneUS с формулой для сегмента, конечно, очень просто получается.

[FEBUS]

У всякого портного свой взгляд на искусство!
Козьма Прутков.