2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Школьная задачка про круги
Сообщение16.09.2020, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1720
Москва
Изображение

При заданном диаметре большого круга найти площадь красной фигуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение16.09.2020, 08:48 


11/12/16
7839
уездный город Н
Как-то очень просто для олимпиадной...

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение16.09.2020, 08:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1720
Москва
Школьная же))

Впрочем, если модераторы сочтут необходимым куда-то перенести, ничего против не имею. Утверждается, что красивых решений много, два знаю, может ещё что-то увижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение16.09.2020, 11:21 
Аватара пользователя


01/11/14
755
Principality of Galilee
juna

(Оффтоп)

Сколько лет, сколько зим!!! Куда Вы пропали на много лет? Рад Вашему возвращению!
А задача, действительно, решается довольно просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение16.09.2020, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4848
Нов-ск
juna в сообщении #1483377 писал(а):
красивых решений много, два знаю

Какое второе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение16.09.2020, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1720
Москва
TOTAL в сообщении #1483395 писал(а):
Какое второе?


Нужно вначале договориться, что считать первым, что вторым :lol:

Будем считать, что решение, которое приведено в информационном источнике (это некий телеграмм-канал, где задача заявлена, как задача для 12-летних сингапурских школьников) - первым.
Второе включает 2 пункта:
1. Легко понять, что сумма площадей малых кругов без перекрытий равна площади большого круга. Значит сумма площадей перекрытий равна площади красной фигуры, обозначим их через $S$.

2. Изображение

Из правого рисунка видно, что площадь желтой фигуры равна площади синего квадрата, вписанного в малый круг.

Обозначим через $R$ - радиус большого круга, тогда имеем:
$$2\cdot S+4\cdot \frac{R^2}{2}=\pi\cdot R^2$$
$$S=\left (\frac{\pi}{2}-1\right )\cdot R^2$$

(Оффтоп)

Gagarin1968, спасибо за долгую память в мой адрес :-) Приятно.
Мое решение мне показалось настолько естественным, что казалось чуть ли не единственным для 12-летних школьников, пока не посмотрел на изуитское решение в телеграмм-канале. Это и оказалось посылом репоста данной задачки...
Надеюсь не оказаться в положении - сам запостил, сам решил... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение17.09.2020, 05:05 


11/12/16
7839
уездный город Н
juna
Решал "в лоб", и решение не показалось иезуитским.

1. Площадь красной фигуры равна площади большого круга минус площадь четырех малых кругов плюс площадь перекрытия малых кругов. Так как радиус малых кругов ровно в два раза меньше радиуса большого, то получаем, что искомая площадь - площадь перекрытия малых кругов.

2. Перекрытие малых кругов - это восемь круговых сегментов. Угол, на котором построены сегменты, равен $\frac{\pi}{2}$

3. Считаем площадь сегмента, умножаем на восемь.

3б. Как вариация - можно догадаться, что площадь четырех сегментов равна разнице площади малого круга и площади вписанного в него квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение17.09.2020, 08:30 
Аватара пользователя


14/05/20
40
$ S= \pi R^2-R^2 - 2\pi\dfrac{R^2}{4}=\left( \dfrac{\pi}{2}-1 \right)R^2.   $

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение17.09.2020, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1720
Москва
FEBUS

Да, это первое решение (которое я назвал иезуитским, потому что оно хоронит все попытки посчитать эти сегменты внутри квадрата и красивое замечание про совпадение площади этих перекрытий искомому)))

EUgeneUS с формулой для сегмента, конечно, очень просто получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задачка про круги
Сообщение17.09.2020, 14:36 
Аватара пользователя


14/05/20
40
У всякого портного свой взгляд на искусство!
Козьма Прутков.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group