2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Псевдообратная матрица в усеченной проблеме моментов
Сообщение13.09.2020, 13:40 


12/09/20
10
Уважаемые коллеги!

При решении одной прикладной физической задачи я столкнулся с усеченной проблемой моментов, то есть задачей поиска распределения (в том числе финитного) по конечному числу моментов:
$S_{kn} P_n = \{\langle n^k\rangle\}_k$
Здесь $P\in\mathbb{R}^N$ -- искомое распределение, $\{\langle n^k\rangle\}\in\mathbb{R}^K$ -- вектор моментов, $S\in\mathbb{R}^{N\times K}$ -- матрица известного вида:
$S_{kn} = n^k$
Решение, оптимальное по $\Vert SP - \{\langle n^k\rangle\}\Vert$ можно найти с помощью псевдообратной матрицы:
$P = S^+\{\langle n^k\rangle\}$
Я хочу найти аналитическую формулу, связывающую матрицу ошибок $\Sigma_{kk'}^1=\langle \Delta n^k\Delta n^{k'}\rangle$ с матрицей ошибок $\Sigma_{nn'}^2=\langle \Delta P_n\Delta P_{n'}\rangle$.
Не встречал ли кто в литературе аналитической формы псевдообратной матрицы для матрицы $S$?
В лоб решить проблему не удалось, то есть не удалось получить выражение для $S^+_{kn}$ в компактной форме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Псевдообратная матрица в усеченной проблеме моментов
Сообщение13.09.2020, 16:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Почему Вы говорите о псевдообратной матрице? Ведь Ваша матрица обратима. Если я правильно Вас понял, $(S_{kn})$ — матрица Вандермонда (если степени начинаются с нуля).
Кстати, уточните начальные значения для $n$ и $k$ в матрице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Псевдообратная матрица в усеченной проблеме моментов
Сообщение13.09.2020, 22:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я понял. Потому что в общем случае $N\neq K$, и матрица не обязана быть квадратной, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Псевдообратная матрица в усеченной проблеме моментов
Сообщение14.09.2020, 08:28 


12/09/20
10
@svv, спасибо за ответ!
Да, матрица безусловно обратима в случае $N=K$, но в общем случае $N\neq K$. Начальные значения $n=0,k=0$. Да, получается, что это действительно матрица Вандермонда (или транспонированная). Пойду читать, что по её обращению придумали :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Псевдообратная матрица в усеченной проблеме моментов
Сообщение14.09.2020, 15:44 


12/09/20
10
Как показал анализ литературы, выражения для элементов псевдообратной матрицы к прямоугольной матрице Вандермонда можно найти аналитически, но по форме они весьма сложны.
Аналитические формулы для псевдообращения обобщенных матриц Вандермонда произвольной размерности описаны в статье
Pantelous A. A., Karageorgos A. D. Generalized inverses of the vandermonde matrix: Applications in control theory //International Journal of Control, Automation and Systems. – 2013. – Т. 11. – №. 5. – С. 1063-1070.
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s12555-012-0153-7.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Псевдообратная матрица в усеченной проблеме моментов
Сообщение14.09.2020, 15:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Спасибо и Вам за ссылку на статью, не исключено, что пригодится когда-нибудь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group