Псевдообратная матрица в усеченной проблеме моментов

[VonQO]

Уважаемые коллеги!

При решении одной прикладной физической задачи я столкнулся с усеченной проблемой моментов, то есть задачей поиска распределения (в том числе финитного) по конечному числу моментов:
$S_{kn} P_n = \{\langle n^k\rangle\}_k$
Здесь $P\in\mathbb{R}^N$ -- искомое распределение, $\{\langle n^k\rangle\}\in\mathbb{R}^K$ -- вектор моментов, $S\in\mathbb{R}^{N\times K}$ -- матрица известного вида:
$S_{kn} = n^k$
Решение, оптимальное по $\Vert SP - \{\langle n^k\rangle\}\Vert$ можно найти с помощью псевдообратной матрицы:
$P = S^+\{\langle n^k\rangle\}$
Я хочу найти аналитическую формулу, связывающую матрицу ошибок $\Sigma_{kk'}^1=\langle \Delta n^k\Delta n^{k'}\rangle$ с матрицей ошибок $\Sigma_{nn'}^2=\langle \Delta P_n\Delta P_{n'}\rangle$.
Не встречал ли кто в литературе аналитической формы псевдообратной матрицы для матрицы $S$?
В лоб решить проблему не удалось, то есть не удалось получить выражение для $S^+_{kn}$ в компактной форме.

[svv]

Почему Вы говорите о псевдообратной матрице? Ведь Ваша матрица обратима. Если я правильно Вас понял, $(S_{kn})$ — матрица Вандермонда (если степени начинаются с нуля).
Кстати, уточните начальные значения для $n$ и $k$ в матрице.

[svv]

Я понял. Потому что в общем случае $N\neq K$, и матрица не обязана быть квадратной, верно?

[VonQO]

@svv, спасибо за ответ!
Да, матрица безусловно обратима в случае $N=K$, но в общем случае $N\neq K$. Начальные значения $n=0,k=0$. Да, получается, что это действительно матрица Вандермонда (или транспонированная). Пойду читать, что по её обращению придумали :)

[VonQO]

Как показал анализ литературы, выражения для элементов псевдообратной матрицы к прямоугольной матрице Вандермонда можно найти аналитически, но по форме они весьма сложны.
Аналитические формулы для псевдообращения обобщенных матриц Вандермонда произвольной размерности описаны в статье
Pantelous A. A., Karageorgos A. D. Generalized inverses of the vandermonde matrix: Applications in control theory //International Journal of Control, Automation and Systems. – 2013. – Т. 11. – №. 5. – С. 1063-1070.
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s12555-012-0153-7.pdf

[svv]

Спасибо и Вам за ссылку на статью, не исключено, что пригодится когда-нибудь.