Система 2-х уравнений 4 степени

[Shadow]

scwec в сообщении #1482510 писал(а):

Предлагаю теперь найти 2-параметризацию в целых числах уравнения $x^4+y^4+z^4=w^2$

$x=22896 u^4+5816160 u^3 v+256074200 u^2 v^2-278691000 u v^3+52569375 v^4$

$y=200 (12 u^2+575 v^2) (36 u^2+3220 u v-1725 v^2)$

$z=160 (12 u^2+575 v^2) (84 u^2-180 u v-4025 v^2)$

$\\w=27066306816 u^8+266333598720 u^7 v+50641098912000 u^6 v^2\\ +2965975219872000 u^5 v^3+62700225069340000 u^4 v^4-142119645952200000 u^3 v^5\\ +116272314776250000 u^2 v^6-29301223376250000 u v^7+142684039187890625 v^8$

-- 11.09.2020, 10:24 --

Ну, если сделать $v$ четное, а $u$ кратное пяти будет лучше

[scwec]

Вот ещё 2-параметрическое решение для $2(x^4+y^4+z^4)=w^2$ (параметры $p,q$), отличное от предъявленных выше, и таких решений бесконечное число.

x=p*(2*p^8+12*p^7*q+30*p^6*q^2+48*p^5*q^3+57*p^4*q^4+48*p^3*q^5+30*p^2*q^6+12*p*q^7+3*q^8)
y=q*(2*p^8+4*p^7*q+2*p^6*q^2-8*p^5*q^3-15*p^4*q^4-16*p^3*q^5-10*p^2*q^6-4*p*q^7-q^8)
z=(p+q)*(2*p^8+4*p^7*q+2*p^6*q^2-8*p^5*q^3-15*p^4*q^4-16*p^3*q^5-10*p^2*q^6-4*p*q^7-q^8)
w=(2*(q^2+p*q+p^2))*(q^16+8*q^15*p+36*q^14*p^2+112*q^13*p^3+278*q^12*p^4+576*q^11*p^5+1036*q^10*p^6+
1616*q^9*p^7+2169*q^8*p^8+2456*q^7*p^9+2296*q^6*p^10+1728*q^5*p^11+1016*q^4*p^12
+448*q^3*p^13+144*q^2*p^14+32*q*p^15+4*p^16)

Получаются они стандартным способом. Уравнение $w^2=2x^4+2y^4+2z^4\qquad(1)$ имеет решение $x=p, y=q, z=p+q, w=2(p^2+pq+q^2)$
Подставим в это уравнение $z=p+q+t,x=p,y=q$ и приняв $t$ за новую переменную получаем уравнение
$W^2=at^4+bt^3+ct^2+dt+e^2\qquad(2)$, где
$a=2, b=8(p+q), c=12(p+q)^2, d=8(p+q)^3,e=2(p^2+pq+q^2)$
Обозначим $n=\frac{d}{2e},m=\frac{c}{2e}-\frac{d^2}{8e^3}$.
Тогда рациональное $t=\frac{b-2mn}{m^2-a}$ удовлетворяет уравнению $(2)$, а рациональное $z=p+q+t$ и целые $x=p,y=q$ уравнению $(1)$
Умножив уравнение $(1)$ на знаменатель $z^4$, получим новое 2-параметрическое решение, приведенное вначале.
С ним можно поступить так же, как и с $p,q,p+q$ и получить ещё одно решение и т.д. Результаты, конечно, громоздкие.
Так, из $2(1^4+2^4+3^4)=14^2$ получается $2(6914^4+13828^4+1926^4)=278788664^2$
Получить здесь общее решение вряд ли удастся.

Что касается уравнения $x^4+y^4+z^4=w^2$, то 2-параметрическое решение действительно получается из выше приведенного lel0lel тождества,
при этом
$x=2pq(p^2-q^2)$
$y=2pq(p^2+q^2)$
$z=p^4-q^4$
$w=p^8+14p^4{q^4}+q^8$
Из этого решения, как было описано выше для уравнения $2(x^4+y^4+z^4)=w^2$, можно получить сколько угодно других 2-параметризаций, правда, очень громоздких.
Возможно, Shadow пользовался другим приёмом.

Приведу для решения ещё одно уравнение четвертой степени.
Найдите 2-параметрическое решение в целых, отличных от нуля чисел, уравнения
$x^2+axy+by^2=z^4$

[Shadow]

scwec в сообщении #1482752 писал(а):

Найдите 2-параметрическое решение в целых, отличных от нуля чисел, уравнения
$x^2+axy+by^2=z^4$

$\\x=-a^2bn^4-4abmn^3+b^2n^4-6bm^2n^2+m^4\\ \\ y=n(an+2m)(a^2n^2+2amn-2bn^2+2m^2)\\ \\ z=amn+bn^2+m^2\\ $

[mecak17]

$z = 2(m^2 + (4b-a^2)n^2)$ $x = 2(m^2 - 2amn - (4b-a^2)n^2)z$ $y = 2(4mn)z$

[scwec]

Shadow, да, всё верно.
Рецепт здесь следующий. $(m^2+amn+bn^2)(p^2+apq+bq^2)=(r^2+ars+bs^2)$,
где $r=mp-bnq, s=np+mq+anq$.
Пользуясь этим, можно вычислить 2-параметрическое решение для уравнения $x^2+axy+by^2=z^k$ с любым натуральным $k$.
Так, для $k=5$
$x=m^5-10m^3{bn^2}-10m^2{abn^3}+5mb^2{n^4}-5mbn^4{a^2}-bn^5{a^3}+2b^2{n^5}a$
$y=n(5m^4-10m^2{bn^2}-10ma{bn^3}+b^2{n^4}-3b{n^4}{a^2})$
$+n(10n^2{m^2}{a^2}+10nm^3{a}+5n^3{ma^3}+n^4{a^4})$
$z=mna+m^2+bn^2$
mecak17, Ваш ответ верный для $k=4$.
Предлагаю Вам дать решение, если это возможно, для $k=5$

[mecak17]

Ещё проще --

$z = m^2 + amn + bn^2$ $x = mz^2$ $y = nz^2$

[scwec]

mecak17
Это решение просто и совершенно тривиально.
Как от Вашего решения для $k=4$ перейти к $k=5$.
Вот в чем было предложение.
(По недосмотру у меня было другое сообщение и я его убрал)

[mecak17]

В каком-то смысле оно из него и получено. Оба решения получаются сведением к уравнению с меньшим $k$, но в первом случае -- к $k=2$, а во втором -- к $k=1$. А решать по честному я не умею.

[scwec]

Предложу ещё задачу из этой серии.
Найдите 4-параметрическое решение в целых числах $x,y,u,w$ уравнения
$x^2+axy+y^2=u^2+auw+w^2$

[mecak17]

$x + y + u + w = 4pq(a-2)$ $x + y - u - w = 4rs$ $x - y + u - w = 4pr(a+2)$ $x + y - u + w = 4qs$

[scwec]

mecak17 в сообщении #1482990 писал(а):

$x + y + u + w = 4pq(a-2)$

$x + y - u - w = 4rs$

$x - y + u - w = 4pr(a+2)$

$x + y - u + w = 4qs$

$x,y,u,w$, получаемые из этих уравнений, не являются решением исходного уравнения
$x^2 +axy+y^2=u^2+auw+w^2$
Вообще, ответ нужно давать в форме $x=...,y=...,u=...,w=...$

[mecak17]

Опечатка, извиняюсь. Знак перед $y$ в последнем уравнении должен быть "$-$".

[scwec]

После замены плюс на минус ответ mecak17 годится.
Он отличается от моего.
Имелось в виду, $x=mp-nq, y=np+mq+anq, u=mq-np, w=nq+mp+anp$
При этом получается $x^2+axy+y^2=u^2+auw+w^2=(m^2+amn+n^2)(p^2+apq+q^2)$

[scwec]

Задача из этой же серии.
Найдите 2-параметрическое решение (частное) в целых числах системы уравнений
$xy(x^2-y^2)=uv(u^2-v^2)=zw(z^2-w^2)$

[Andrey A]

scwec в сообщении #1483492 писал(а):

$xy(x^2-y^2)=uv(u^2-v^2)=zw(z^2-w^2)$

Задача с предысторией. Тот редкий случай, когда численных примеров натаскать легче, чем дать хоть какое-то решение.