Общее решение ОДУ

[literid]

Дано дифференциальное уравнение:
$y' - y' \cos{x} = y \sin{x}$

Общее решение выражается формулой $y = C(1-\cos{x}) \enspace (1) $
Но $y=\begin{cases}1-\cos{x}, & x < 0 \\ 0, & x \geqslant 0 \end{cases} \enspace (2)$ также является решением данного уравнения.
Но ведь в $(1)$ оно не входит, поскольку не существует такого постоянного $C$, что из $(1)$ можно получить $(2)$.

Отсюда вопрос: почему мы считаем $(1)$ общим решением, и каким образом подобные частные решения получаются из общего?

[GAA]

[При $x=2\pi k$ коэффициент при производной обращается в ноль.]
1. В отличных от $x=2\pi k$ ($k \in \mathbb Z$) точках по заданному дополнительному условию $y(x_0) = y_0$ из (1) предыдущего сообщения может быть получено [единственное] решение задачи Коши. В этом смысле решение общее.
2. Подобные частные решения в данном примере могут быть построены таким образом. Слева от $x=0$ берём решение с одним значением $C$, а справа с другим значением $C$. Например $y=\begin{cases}1-\cos x, & x < 0; \\ 2 (1-\cos x), & x \geqslant 0 .\end{cases}$

Исправление: было $y(0)= y_0$, а должно было быть $y(x_0)=y_0$

[literid]

GAA,
То есть в общем решении могут не содержаться все решения уравнения?

[GAA]

Как всегда, всё зависит от определения, а Вы используемое определение общего решения не привели. Но при определении достаточно близком к типовым [из широко известных учебников], ответ: да, в общем случае в общем решении могут не содержаться все решения уравнения. [Примеров этого много в различных сборниках задач (например, Филиппова) и в различных учебниках.]

[Утундрий]

literid
Подумайте, чем $(1)$ отличается от $(2)$?

[literid]

Утундрий
$(1)$ является общим решением (для любых начальных условий $y(x_0) = y_0 $ найдется $C$), а $(2)$ общим решением не является, если вы про это.

[Утундрий]

literid в сообщении #1482789 писал(а):

если вы про это

Я про точку $x=0$.

[literid]

Я не вижу ничего особенного в точке $x = 0$.
(значения функций совпадают, значения производных совпадают ...)

[Утундрий]

literid в сообщении #1482795 писал(а):

значения производных совпадают

Всех?

[literid]

Значения первых производных обеих функций в $x = 0$ равны нулю, у $(1)$ вторая производная равна $C$, а $(2)$ не диффeренцируема в нуле.
Так что не всех.
Исправление: производная $(2)$ не дифференцируема в нуле, а не сама функция $(2)$

[Утундрий]

literid в сообщении #1482803 писал(а):

а $(2)$ не дифференцируема в нуле

Почему? Ноль очень даже замечательно дифференцируется.

literid в сообщении #1482803 писал(а):

Так что не всех.

Правильно. И какой отсюда вывод?

[literid]

К сожалению ничего не приходит. Я не совсем понимаю, как это относится к моему вопросу.

[svv]

А.Ф.Филиппов. Введение в теорию дифференциальных уравнений.
Посмотрите главу 2 и особенно §8, «Уравнения, не разрешенные относительно производной».

Цитата:

Основные свойства уравнений вида $F(x, y, y') = 0$ отличаются от свойств ранее рассмотренных уравнений $y' = f(x, y)$.
...
Имеются также решения, составленные из кусков решений этих семейств. Такие составные функции являются решениями только тогда, когда они всюду имеют производную, то есть когда в точке стыка два соединяемых куска имеют общую касательную.

[Red_Herring]

svv в сообщении #1482858 писал(а):

Посмотрите главу 2 и особенно §8, «Уравнения, не разрешенные относительно производной».

И даже если они разрешены, $y'=f(x,y)$ но правая часть не липшицева, напр, $y'= 3y^{2/3}$, то можно строить достаточно гладкие решения, составленные из кусков.

[literid]

Спасибо всем за помощь