Критерий Коши сходимости последовательности

[VoprosT]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться:
Последовательность $x_n$ сходится тогда и только тогда, когда $\forall \; \varepsilon > 0 \; \exists N \colon \forall m, n > N \; |x_m - x_n|<\varepsilon$.
Вопрос покажу на примере: надо показать, что $n$-ая частичная сумма гармонического ряда равна $\ln(n)$(плюс константа Эйлера).
Я попробовал сперва пойти через критерий Коши и попытался показать что-то такое: $\left\lvert \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+p} - \ln(\frac{n+p}{n})\right\rvert < \varepsilon$(здесь $m=n+p$). Дальнейшие оценки сверху не привели к успеху, но суть не в этом: вот допустим я получил красивую оценку на это выражение под модулем, и функция в оценке зависит одновременно от $m$(в моем случае от $p$) и $n$. Могу ли я одновременно устремлять обе переменные к бесконечности, чтобы перейти к пределу/заменить какие-то выражения на эквивалентные? Что-то подсказывает, что не всегда. А если оценка зависит только от одной буквы? Кажется, что могу.

[Lia]

VoprosT в сообщении #1482720 писал(а):

Я попробовал сперва пойти через критерий Коши и попытался показать что-то такое: $\left\lvert \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+p} - \ln(\frac{n+p}{n})\right\rvert$(здесь $m=n+p$).

Тут пока не пахнет критерием Коши. И сформулируйте вопрос внятно - сперва Вы говорите о последовательностях, чуть ниже уже о рядах. А сам вопрос в чем?

-- 10.09.2020, 23:23 --

VoprosT в сообщении #1482720 писал(а):

надо показать, что $n$-ая частичная сумма гармонического ряда равна $\ln(n)$

Для этого критерий Коши не предназначен. Он умеет только распознавать, сходится или расходится. Куда и с какой скоростью - не умеет.

[VoprosT]

Lia в сообщении #1482721 писал(а):

VoprosT в сообщении #1482720 писал(а):

Я попробовал сперва пойти через критерий Коши и попытался показать что-то такое: $\left\lvert \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+p} - \ln(\frac{n+p}{n})\right\rvert$(здесь $m=n+p$).

Тут пока не пахнет критерием Коши. И сформулируйте вопрос внятно - сперва Вы говорите о последовательностях, чуть ниже уже о рядах. А сам вопрос в чем?

Я взял ряд $1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln(n)$. Взял последовательность его частичных сумм $H’_n$, посмотрел на выражение

$$\left\lvert H’_{n+p} - H’_n\right\rvert$$

и попытался показать, что оно меньше любого положительного эпсилон. После явного выписывания разности и оценки сверху: $\frac{p}{n} - \ln(\frac{n+p}{n})$($p$ в логарифме можно ещё единичкой заменить, но не в этом мой вопрос) очень уж захотелось заменить логарифм на его б.м. аргумент (это,кстати,подсказка в упражнении: $\ln(\frac{n+1}{n})=\ln(1+\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$), когда увидел $\ln(\frac{n+p}{n})=\ln(1+\frac{p}{n})$, но понял, что не все так просто (куда стремится $\frac{p}{n}$ ). Вот и задался вопросом: верно ли что в этом случае и $p$, и $n$ обе стремятся к бесконечности? (если вообще куда-то стремятся, когда мы смотрим на признак Коши или пытаемся его применить). В общем задачу мне решать не надо, мне интересно, что куда стремится.
Вопрос вроде изначально такой и был:
« Могу ли я одновременно устремлять обе переменные к бесконечности, чтобы перейти к пределу/заменить какие-то выражения на эквивалентные? Что-то подсказывает, что не всегда. А если оценка зависит только от одной буквы? Кажется, что могу.»

P.s. Извиняюсь, если где-то не показал наглядно то, что имею в виду, с телефона уж очень неудобно набирать формулы, объясняюсь словами.

[svv]

VoprosT в сообщении #1482720 писал(а):

$n$-ая частичная сумма гармонического ряда равна $\ln(n)$(плюс константа Эйлера)

Это неверно.

VoprosT в сообщении #1482722 писал(а):

ряд $1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln(n)$

Это не ряд.

[StaticZero]

VoprosT, в критерии Коши никто никуда не стремится.

Подсказка какая-то бесполезная, имхо, потому что можно зафиксировать $n$, а $p$ взять $10^6 + n$, и тогда $p/n$ уж никак не $\ll 1$.

Кажется, это тот самый случай, когда хорошая формулировка вопроса даст половину ответа, как минимум. Сейчас она, кажется, не хорошая.

[VoprosT]

svv в сообщении #1482724 писал(а):

VoprosT в сообщении #1482720 писал(а):

$n$-ая частичная сумма гармонического ряда равна $\ln(n)$(плюс константа Эйлера)

Это неверно.

Да, понял, в пределе разность суммы и логарифма стремится к константе Эйлера.

svv в сообщении #1482724 писал(а):

VoprosT в сообщении #1482722 писал(а):

ряд $1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln(n)$

Это не ряд.

Хорошо, я взял такую последовательность*
Это верные замечания, но, не сочтите за грубость, они не совсем по сути вопроса :(

-- 10.09.2020, 22:11 --

Так, я понял. Напишу, какие мысли вообще привели меня сюда.
В первом томе Зорича на моменте про предел последовательности и критерий Коши есть один пример:
Пусть $x_1 = 0, x_2 =0,a_1 , x_3 = 0,a_{1}a_{2}, ... , x_n = 0,a_{1}a_{2}...a_{n}$ - некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причём каждая следующая дробь получается дописыванием 0 или 1 к предыдущей. Покажем, что последовательность всегда сходится. Пусть $m>n$. Оценим разность $x_m - x_n$:
$\left\lvert x_m - x_n\right\rvert = \left\lvert \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}+...+\frac{a_m}{2^m} \right\rvert \leqslant \frac{1}{2^{n+1}}+...+\frac{1}{2^m}= \frac{(\frac{1}{2})^{n+1} - (\frac{1}{2})^{m+1}}{1 - \frac{1}{2}} < \frac{1}{2^n}$. Таким образом, подобрав по заданному $$\varepsilon > 0$ $ число $N$ так, что $\frac{1}{2^N} < \varepsilon$ для любых $m>n>N$, получаем оценку $\left\lvert x_m - x_n\right\rvert < \frac{1}{2^n}<\frac{1}{2^N}< \varepsilon$, доказывающую фундаментальность последовательности ${x_n}$.

Житейски говоря, $\frac{1}{2^n} \to 0$ при $n \to \infty$(всё внимание на этом моменте). Вот мне и стало интересно, могу ли я что-то куда-то устремить в своём примере про гармонический ряд. Или даже не в примере про ряд, а в любом другом. Например, я смог оценить для какой-то последовательности $y_n$ разность $\left\lvert y_m - y_n \right\rvert$ сверху выражением $\ln(1 + \frac{1}{n})$. Можно ли сказать теперь, что $\ln(1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$ при $n \to \infty$ , а $\frac{1}{n}$ в свою очередь уже стремится к $0$. То есть, $y_n$ фундаментальна и сходится?

[vpb]

VoprosT в сообщении #1482726 писал(а):

Например, я смог оценить для какой-то последовательности $y_n$ разность $\left\lvert y_m - y_n \right\rvert$ сверху выражением $\ln(1 + \frac{1}{n})$.

Если для любого $m\geq n$ это верно, то последовательность фундаментальна, ясен пень. (Имея в виду еще оценки, которые Вы в следующей строчке написали.)

[VoprosT]

vpb в сообщении #1482728 писал(а):

VoprosT в сообщении #1482726 писал(а):

Например, я смог оценить для какой-то последовательности $y_n$ разность $\left\lvert y_m - y_n \right\rvert$ сверху выражением $\ln(1 + \frac{1}{n})$.

Если для любого $m\geq n$ это верно, то последовательность фундаментальна, ясен пень. (Имея в виду еще оценки, которые Вы в следующей строчке написали.)

А если, например, оценка будет $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$, то тоже ясен пень?

[vpb]

Тоже ясен. А разве нет ?

Вообще, в начале Зорича про такую вещь, как предел последовательности (точнее, семейства, т.к. говорить о последовательности тут не с руки), зависящего от двух индексов, не говорится. Там формулировки в других терминах. Стало быть, и Вам пока не надо.

[VoprosT]

Разобрался, спасибо!

[vpb]

На здоровье !

[VoprosT]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1482730 писал(а):

Тоже ясен. А разве нет ?

Вообще, в начале Зорича про такую вещь, как предел последовательности (точнее, семейства, т.к. говорить о последовательности тут не с руки), зависящего от двух индексов, не говорится. Там формулировки в других терминах. Стало быть, и Вам пока не надо.

Кстати, из интересного, в первом томе в самом верху страницы 122 (издание 2020 года) Владимир Антонович получает оценку на колебание функции: $\left\lvert f(x_n) - f(x_m) \right\rvert < \frac{1}{n} + \frac{1}{m}$, делает вывод о том, что $f(x_n)$ имеет пределом число $A$, потом, не трогая $n$, устремляет $m$ к бесконечности, переходит к пределу в неравенстве: $\left\lvert f(x_n) - A \right\rvert \leqslant \varepsilon$, а потом, вспоминая о том, что колебание функции $< \frac{1}{n} (< \varepsilon)$, заключает: $\left\lvert f(x) - A \right\rvert < \varepsilon$ при $n>N = \left\lfloor \frac{2}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ в любой точке элемента $B_n$ базы $\mathfrak{B}$.