Бесконечномерные векторные пространства над R

[Paul Ivanov]

Пробую сам расширить представление о конечно-мерных векторных пространствах до бесконечномерных.
Используя факт существования базиса Гамеля для любых векторных пространств и искусственное построение скалярного произведения, такого, что этот базис Гамеля ортонормирован, пришёл к следующим двум, как мне кажется, достаточно очевидным выводам:
1. не любую билинейную форму $f(x,y)$ двух аргументов векторов $x$ и $y$ можно представить в виде $\mathcal{A}x|y$, где $\mathcal{A}$ - некоторый линейный оператор, а $x|y$ - некоторое скалярное произведение с ортонормированным базисом Гамеля.
2. не для любого линейного оператора $\mathcal{A}$ существует сопряжённый оператор.
К выводам этим я пришёл действуя в лоб. Но меня не покидает ощущение, что где-то я мог налажать.
Прошу поправить меня или подтвердить мою правоту.
Ещё хотелось бы понять, всегда ли существует ортонормированный базис Гамеля. К этому вопросу как подступиться не представляю.
Спасибо

[mihaild]

А в явном виде вы контрпримеры построили? Сами по себе утверждения верные (хотя я бы не назвал их очевидными), но это не означает, что ваши примеры к ним верны.

Paul Ivanov в сообщении #1482354 писал(а):

всегда ли существует ортонормированный базис Гамеля

Базис Гамеля существует всегда (если принять аксиому выбора; вообще существование базиса Гамеля равносильно аксиоме выбора).
Чтобы говорить про ортонормированность - нужно иметь скалярное произведение. Естественно, для любого базиса Гамеля можно ввести скалярное произведение, относительно которого он ортонормирован. Но можно привести пример пространства и скалярного произведения на нём, такого что ортонормированного относительно этого скалярного произведения базиса Гамеля не существует.

[Paul Ivanov]

В явном виде контрпримеры так и строил: взял базис Гамеля, ввёл такое скалярное произведение, что этот базис ортонормирован (иначе говоря бесконечная матрица соответствующая билинейной форме в этом базисе единичная, то есть билинейная форма действительно представляет собой скалярное произведение). Далее любой линейный оператор преобразует вектор пространства в другой вектор пространства, а так как все вектора раскладываются в конечную линейную комбинацию базисных векторов Гамеля, то матрица этого оператора в этом базисе имеет в каждом столбце конечное число ненулевых координат, далее несложно показать, что если мы воздействуем на вектор $x$ линейным оператором, то матрица получившейся билинейной формы имеет в любой строке конечное число отличных от нуля чисел, но как несложно показать матрица произвольной билинейной формы абсолютно произвольна (конструктивных противоречий нет), то есть, может иметь в строке бесконечно много отличных от нуля чисел и соответствие между всеми бесконечными матрицами билинейных форм (естественно по тому же базису Гамеля) и самими билинейными формами взаимнооднозначно. Значит оператор действительно не позволяет получить любую билинейную форму.
Утверждение про сопряжённый оператор вывел аналогично осторожно работая с бесконечными матрицами и пользуясь аналогичными свойствами линейного оператора в базисе Гамеля.
Насчёт связи между аксиомой выбора, вполнеупорядочиванием и существованием базиса Гамеля в курсе, сам доказывал.
А вот то, что для некоторого скалярного произведения может не существовать ортонормированного базиса Гамеля, интересно. А могу я вас попросить намекнуть, как такое скалярное произведение построить?
Спасибо

[pogulyat_vyshel]

Paul Ivanov в сообщении #1482367 писал(а):

А вот то, что для некоторого скалярного произведения может не существовать ортонормированного базиса Гамеля, интересно.

Берем сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство... В базисе Гамеля заведомо более чем счетное количество векторов.

[mihaild]

Paul Ivanov в сообщении #1482367 писал(а):

А могу я вас попросить намекнуть, как такое скалярное произведение построить?

А вы знаете какие-нибудь бесконечномерные пространства с "естественным" скалярным произведением?

[vpb]

Paul Ivanov в сообщении #1482354 писал(а):

Но меня не покидает ощущение, что где-то я мог налажать.

В таких случаях (это общий совет) лучше всего брать ручку и бумагу и пробовать изложить всё на бумаге (для самого себя) со всеми подробностями, которые не совсем уж тривиальны. А если после того кто-нибудь еще внимательно прочитает --- еще лучше (но так бывает редко, только в студенчестве. Еще иногда рецензенты статьи читают. Или по дружбе иногда. ). Что Вы и сделали, в сущности, с первым утверждением (и сделали правильно). Второе, правда, не написали, а рассказали, что "осторожно вывели".

Насчет построения примера --- это как pogulyat_vyshel написал. Но для этого надо Колмогорова-Фомина читать и думать. Более конкретное, там надо будет доказать, что (а) указанное пространство (например, $l_2$) не может содержать несчетного множества попарно ортогональных векторов, и, с другой стороны, (б) это пространство не может иметь счетного базиса Гамеля.

[Paul Ivanov]

Возник новый вопрос в русле той же темы.
Хочу сразу сказать, что ваши ответы были очень информативны и по делу, но я не нашёл, что ответить, так как просто не хватает компетентности и возможности вникнуть допустим в те же сепарабельные пространства. Так сказать есть вопросы, но нет способностей или возможностей в полной мере ответы на них обнаружить самому. Буду очень благодарен, если меня здесь всё же просветят по поводу ещё одного в малой степени доступного для меня, как мне кажется, вопроса.
Вопрос следующий: если на бесконечномерном евклидовом векторном пространстве $V$ выделить векторное подпространство $U$, то всегда ли его ортогональное дополнение $U^\perp$ будет таковым, что $V=U\oplus U^\perp$?
Если скалярное произведение может быть так сказать псевдоскалярным (то есть матрица формы - любая эрмитова), то получается построить достаточно простой контрпример просто введя в качестве базиса гамеля базис состоящий из счётного множества векторов составляющих ортонормированный базис подпространства $U$ и ещё из одного вектора скалярное произведение которого на любой базисный вектор из некоторого любого подмножества базисных векторов $U$ отличается от нуля. Тогда $U^\perp$ будет пусто, что и доказывает, что это контрпример. Но такой способ через добавление вектора с бесконечным числом ненулевых скалярных произведений к уже ортонормированному бесконечному базису не срабатывает с положительно определённым скалярным произведением.
Мои попытки построить нужный контрпример ни к чему не привели.
Интуитивно в силу большой свободы манипуляций как с самой матрицей формы, так и с её размерами, кажется, что скорее всего для истинного скалярного произведения тоже можно подобрать контрпример. Но, как говорят, если кажется крестись, а лучше пойди почитай или спроси у умных.
Спасибо

[thething]

Paul Ivanov в сообщении #1523360 писал(а):

если на бесконечномерном евклидовом векторном пространстве $V$ выделить векторное подпространство $U$, то всегда ли его ортогональное дополнение $U^\perp$ будет таковым, что $V=U\oplus U^\perp$?

Если $V$ -- гильбертово, а $U$ -- замкнуто, то это утверждение верно. В отсутствии полноты можно рассмотреть пространство $C_2[-1,1]$ непрерывных на отрезке $[-1,1]$ функций с естественным интегральным скалярным произведением, а в качестве подпространства взять такие функции $x(t)$, для которых $\displaystyle\int\limits_{-1}^0x(t)dt=\displaystyle\int\limits_{0}^1x(t)dt$. Покажите, что ортогональное дополнение к такому подпространству состоит из одного нулевого вектора.