Движение двух точек с связью

[misha.physics]

Здравствуйте.
Придумал себе следующую задачу. Пусть в вакууме вдали от тяготеющих тел покоится тонкий однородный стержень. Интересно (я хотел бы получить закон движения чтобы убедиться в следующем, пока пожалуйста не говорите как действительно будет), будет ли он вращаться если по одному из его концов ударить в направлении перпендикулярно стержню. Есть идея для простоты заменить стержень на систему двух точек с связью (практически невесомым стержнем). В общем виде записал такие уравнения движения:

$$(m_1+m_2)\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2}\right)=\mathbf{F}_1^{ext}+\mathbf{F}_2^{ext}$$

$$\frac{d}{dt}(m_1[\mathbf{r}_1,\dot{\mathbf{r}}_1]+m_2[\mathbf{r}_2,\dot{\mathbf{r}}_2])=[\mathbf{r}_1,\mathbf{F}_1^{ext}]+[\mathbf{r}_2,\mathbf{F}_2^{ext}]$$

$$|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|=l$$

Где в правых частях даны внешние силы действующие на 1-ю и 2-ю точки. В нашем случае это "сила удара", $l$ "длина связи" между точками.
Начальные условия можно взять такие: $\mathbf{r}_{10}=(-a,0)$, $\mathbf{r}_{20}=(a,0)$, $\mathbf{v}_{10}=\mathbf{v}_{20}=0$, $\mathbf{F}_1^{ext}=0$, $\mathbf{F}_2^{ext}=(0,F)$, где $a,F>0$.
Записал ещё связь между $\mathbf{r}_1$ и $\mathbf{r}_2$ и радиус-вектором центра мас $\mathbf{R}$ и радиус-вектором относительного движения $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$.
Правда, даже без этого из 1-го уравнения можно сделать вывод, что центр масс будет двигаться равномерно вертикально вверх. Для $\mathbf{r}$ имеем уравнение

$$\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}_2/m_2-\mathbf{F}_1/m_1$$

Здесь силы уже не только внешние а все, которые действуют на 1-ю и 2-ю частицу. Здесь у меня есть идея, что $\mathbf{F}_1=\mathbf{F}_2$, тогда $\ddot{\mathbf{r}}=0$ и вращения не будет и значит система просто будет двигаться поступательно равномерно вверх. А значит и стержень тоже, если эти модели эквивалентны. Но я начинаю думать, как там передается сила удара от одного конца стержня к другому, как смещаются его частицы и прийти к $\mathbf{F}_1=\mathbf{F}_2$ у меня не получается да и я не уверен что так и должно быть. И ещё не знаю, есть ли смысл писать уравнение моментов если на систему действует только одна сила. Может ли она раскрутить систему. Подтолкните, пожалуйста, в правильном направлении. И если в данном случае это тождество, то как его доказать.

Когда-то решал задачу и ещё визуально моделировал на c++ движение двух точек со связью (они падали в поле тяжести), но там я использовал лагранжев формализм, обобщенную координату угла и когда задавал начальную угловую скорость то стержень вращался, но это и понятно, здесь же мы ударяем стержень по одному концу и задача другая.

[DimaM]

misha.physics в сообщении #1482105 писал(а):

Для $\mathbf{r}$ имеем уравнение

$$\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}_2/m_2-\mathbf{F}_1/m_1$$

Здесь силы уже не только внешние а все, которые действуют на 1-ю и 2-ю частицу. Здесь у меня есть идея, что $\mathbf{F}_1=\mathbf{F}_2$

Почему вы не хотите воспользоваться известным формализмом описания систем с голономными связями?

-- 05.09.2020, 21:43 --

misha.physics в сообщении #1482105 писал(а):

Правда, даже без этого из 1-го уравнения можно сделать вывод, что центр масс будет двигаться равномерно вертикально вверх.

Из первого уравнения следует, что равномерное движение будет только при нулевой сумме внешних сил.
Что не согласуется с начальными условиями.

misha.physics в сообщении #1482105 писал(а):

Начальные условия можно взять такие: $\mathbf{r}_{10}=(-a,0)$, $\mathbf{r}_{20}=(a,0)$, $\mathbf{v}_{10}=\mathbf{v}_{20}=0$, $\mathbf{F}_1^{ext}=0$, $\mathbf{F}_2^{ext}=(0,F)$

Вообще, если вы рассуждает про "мгновенный удар", то нужно положить внешние силы равными нулю, но задать ненулевую начальную скорость одной из точек, направленную поперек стержня.

[misha.physics]

DimaM в сообщении #1482107 писал(а):

Что не согласуется с начальными условиями.

Ой, я забыл добавить важное. Имелось ввиду, что нас интересует движение стержня после удара, когда внешние силы уже не действуют. И в начальных условиях имелось ввиду, что постоянная сила $F$ действует короткое время и потом выключается. Я так действие удара смоделировал.

Другое потом прокомментирую, сейчас на улице просто.

[svv]

Пусть сила $\mathbf F(t)$ действует на однородный стержень в течение очень короткого времени и приложена к его концу. Найдём взаимосвязь между изменением импульса и изменением момента импульса стержня (относительно центра масс) в результате действия этой силы.
$\Delta \mathbf p=\int\limits_0^{\tau} \mathbf F(t)\;dt$
$\Delta \mathbf L=\int\limits_0^{\tau} \mathbf r(t)\times \mathbf F(t)\;dt$,
где $\mathbf r(t)$ — радиус-вектор точки приложения силы относительно исходного положения центра масс. Но $\tau$ очень мало, и поэтому...?

[misha.physics]

DimaM в сообщении #1482107 писал(а):

Почему вы не хотите воспользоваться известным формализмом описания систем с голономными связями?

Не подумал о нём. Попробую.

DimaM в сообщении #1482107 писал(а):

Вообще, если вы рассуждает про "мгновенный удар", то нужно положить внешние силы равными нулю, но задать ненулевую начальную скорость одной из точек, направленную поперек стержня.

О, я думал так сделать. Но там получается, что если в некоторый момент скорость одной точки ненулевая и направлена вверх, а второй - нулевая, то в этот момент стержень вращается вокруг той точки, скорость которой равна нулю, но тогда центр масс стержня не сможет постоянно двигаться вертикально вверх.

svv в сообщении #1482122 писал(а):

Найдите взаимосвязь между изменением импульса и изменением момента импульса стержня (относительно центра масс) в результате действия этой силы.

Попробую.

[Утундрий]

misha.physics
Не вариант воспользоваться давно известной и прекрасно разработанной теорией твёрдого тела?

[misha.physics]

Я так понимаю это там где момент инерции стержня нужно использовать и т.д. К сожалению, я не имел много практики с динамикой твердого тела. Как-то попробую и её применить в этой задаче (мне бы хотелось). Как работает динамика системы частиц мне сейчас больше понятно. Потом было бы интересно сравнить разные подходы.

[Утундрий]

Ну, в добрый путь. Короткий ответ: да, будет. Если получите иное - ищите ошибку.

[misha.physics]

Только что заметил, что хоть я и заменил однородный стержень системой из двух точек, но продолжал писать $m_1$ и $m_2$...

svv в сообщении #1482122 писал(а):

$\Delta \mathbf p=\int\limits_0^{\tau} \mathbf F(t)\;dt$
$\Delta \mathbf L=\int\limits_0^{\tau} \mathbf r(t)\times \mathbf F(t)\;dt$

У меня получились такие уравнения, причем они у меня получаются независимо от того, считать стержень множеством точек или только двумя точками - его краями. Предположим, что мы считаем стержень системой из двух точек, тогда $\mathbf{p}$ и $\mathbf{L}$ это импульс и момент импульса этой системы а $\mathbf{r}(t)$ это у меня $\mathbf{r}_2(t)$ - радиус-вектор второй точки к которой мы прикладываем силу.

svv в сообщении #1482122 писал(а):

Но $\tau$ очень мало, и поэтому...?

Поэтому можно заменить конечные приращения на дифференциалы, считать силу постоянной (хотя её для упрощения итак можно было считать постоянной) и самое главное, угол между $\mathbf{r}_2$ и $\mathbf{F}$ считается прямым на протяжение малого времени. Тогда согласно начальных условий имеем

$$dp_x=0\qquad dp_y=Fdt\qquad dp_z=0$$

$$dL_x=0\qquad dL_y=0\qquad dL_z=r_2Fdt=lFdt/2$$

$l$ - длина стержня.
Из верхней строчки получаем, что центр масс стержня движется равномерно в положительном направлении оси $y$. Также сохраняется $\mathbf{L}$ и он ненулевой. Не совсем понял о взаимосвязи изменения импульса и момента импульса стержня. Отсюда можно разве что выразить $dL_z=ldp_y/2$ Или я не так понял. Касательно $\mathbf{L}$ здесь могу сделать нестрогие интуитивные выводы основываясь на симметрии. $\mathbf{L}=[\mathbf{r}_1,\mathbf{p}_1]+[\mathbf{r}_2,\mathbf{p}_2]\neq0$. Поскольку центр масс движется вертикально, то стержень может либо вращатся вокруг центра масс либо не вращатся вообще. В начальный момент когда он горизонтален и его только ударили $\mathbf{r}_1=-\mathbf{r}_2$, значит $[\mathbf{r}_1,\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2]\neq0$, значит $\mathbf{p}_1\neq\mathbf{p}_2$ а только в этом случае стержень мог бы двигаться поступательно, следовательно ему остается только вращаться вокруг точки своей середины которая движеться равномерно вверх.

[svv]

Вы почти получили эту взаимосвязь.

svv в сообщении #1482122 писал(а):

$\Delta \mathbf p=\int\limits_0^{\tau} \mathbf F(t)\;dt$
$\Delta \mathbf L=\int\limits_0^{\tau} \mathbf r(t)\times \mathbf F(t)\;dt$,
где $\mathbf r(t)$ — радиус-вектор точки приложения силы относительно исходного положения центра масс. Но $\tau$ очень мало, и поэтому...?

... и поэтому $\mathbf r(t)\approx \mathbf r(0)$ для $0\leqslant t\leqslant \tau$ (попросту говоря, радиус-вектор за время удара не успеет заметно измениться, хотя скорость — успеет).

Так заменим же под интегралом $\mathbf r(t)$ на $\mathbf r(0)$. Тогда этот вектор, как постоянный, можно вынести за знак интеграла.
$\Delta \mathbf L=\int\limits_0^{\tau} \mathbf r(t)\times \mathbf F(t)\;dt\approx\mathbf r(0)\times\int\limits_0^{\tau}\mathbf F(t)\;dt=\mathbf r(0)\times \Delta\mathbf p$.
Итак, если неподвижный стержень в результате удара приобрёл импульс $\mathbf p$, он также приобретёт момент импульса $\mathbf r(0)\times\mathbf p$, где $\mathbf r(0)$ — вектор из центра масс к концу стержня в момент удара.

[misha.physics]

Ааа, понятно. Я оказывается расписал эту взаимосвязь в координатах в частном случае когда по краю стержня ударяют перпендикулярно.

[svv]

Мне кажется, это круто. Детальный закон изменения $\mathbf F(t)$ нас не интересует, потому что удар — процесс кратковременный. С точки зрения дальнейшего движения стержня интересен только интеграл, т.е. $\mathbf p$. Но тогда мы знаем и момент импульса относительно ц.м.:
$\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$

[misha.physics]

DimaM в сообщении #1482107 писал(а):

Почему вы не хотите воспользоваться известным формализмом описания систем с голономными связями?

Если я правильно понял, то речь идет об уравнении Лагранжа 1-го рода. Наверное у меня упрощенное понимание этого метода и для этой задачи нужно что-то более общее. Но все-таки приведу, что я делал. Я составил два уравнения вида $m_i\ddot{\mathbf{r}}_i=\mathbf{F}_i+\lambda\nabla_if$, где $\lambda$ множитель Лагранжа, $f=(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)^2-l^2$ - уравнение связи. Градиенты я посчитал. Связь дважды продифференцировал, там получился квадрат вектора относительной скорости (одной точки относительно другой)... И я притормозил.

-- 06 сен 2020, 00:17 --

svv в сообщении #1482166 писал(а):

Мне кажется, это круто.

Да, лаконично получилось.

[Pphantom]

(Оффтоп)

misha.physics в сообщении #1482105 писал(а):

Интересно (я хотел бы получить закон движения чтобы убедиться в следующем, пока пожалуйста не говорите как действительно будет), будет ли он вращаться если по одному из его концов ударить в направлении перпендикулярно стержню.

Не совсем по теме, но... если ответ на исходный вопрос без всего вышенавороченного не очевиден - с изучением физики что-то пошло не так.

[pogulyat_vyshel]

Теория удара содержится в любом учебнике термеха