2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма ряда
Сообщение02.09.2020, 07:48 
Аватара пользователя


05/06/20
10
$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}$$

Как найти сумму для произвольного k?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение02.09.2020, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Для единички решили? Астрономией не увлекаетесь?
Можно и в более продвинутой степени. Это подсказки :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение02.09.2020, 08:10 
Аватара пользователя


05/06/20
10
gris в сообщении #1481628 писал(а):
Для единички решили? Астрономией не увлекаетесь?
Можно и в более продвинутой степени. Это подсказки :-)


Да, для единички понятно, там телескопически все сокращается. По идее в общем случае тоже должно сокращаться, но что-то не могу понять как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение02.09.2020, 08:19 


20/03/14
12041
Kattte
Степенные ряды знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение02.09.2020, 08:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Такой же телескопический способ.
степенные ряды не проходили? там свойства помогают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение02.09.2020, 08:39 
Аватара пользователя


05/06/20
10
gris в сообщении #1481633 писал(а):
Такой же телескопический способ.
степенные ряды не проходили? там свойства помогают.


Нет, степенные ряды еще нет. А без них точно не получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение02.09.2020, 08:47 


07/11/12
135
Каждое слагаемое надо представить в виде суммы элементарных дробей (со знаменателем в виде двучлена первой степени по n) с помощью метода неопределенных коэффициентов. Лучше начинать с простых случаев k=2,3,..., дальше простое обобщение на общий случай. Посмотрите ещё по теме: Суммирование биномиальных коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение02.09.2020, 08:53 
Аватара пользователя


05/06/20
10
matidiot в сообщении #1481638 писал(а):
Каждое слагаемое надо представить в виде суммы элементарных дробей (со знаменателем в виде двучлена первой степени по n) с помощью метода неопределенных коэффициентов. Лучше начинать с простых случаев k=2,3,..., дальше простое обобщение на общий случай. Посмотрите ещё по теме: Суммирование биномиальных коэффициентов.


Спасибо! Я попробую!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение03.09.2020, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Kattte в сообщении #1481636 писал(а):
Нет, степенные ряды еще нет. А без них точно не получится?
Точно получится, причём, совсем просто. Как советуют:
gris в сообщении #1481633 писал(а):
Такой же телескопический способ.
В общем, каждый член представляется в виде разности двух дробей, у которых знаменатели чуть короче, чем у него (получаются отбрасыванием одного из множителей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение03.09.2020, 17:07 
Аватара пользователя


05/06/20
10
Someone в сообщении #1481800 писал(а):
Kattte в сообщении #1481636 писал(а):
Нет, степенные ряды еще нет. А без них точно не получится?
Точно получится, причём, совсем просто. Как советуют:
gris в сообщении #1481633 писал(а):
Такой же телескопический способ.
В общем, каждый член представляется в виде разности двух дробей, у которых знаменатели чуть короче, чем у него (получаются отбрасыванием одного из множителей).


Спасибо большое! Кажется у меня получилось решить. Получилось, что S = $\frac{1}{k!}$ Буду признательна, если вы проверите ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение03.09.2020, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Что-то многовато просто на взгляд.
Ну при $k=5$ получается $$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+5)}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}+\cdots=\frac{1}{720}+\frac{1}{5040}\cdots$$
Не дотянет до $\frac{1}{120}$. Слишком быстро сходится. Но будет вида $\frac{1}{M}$ конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение03.09.2020, 21:46 
Заслуженный участник


20/08/14
11063
Россия, Москва
По моему будет $\dfrac{1}{k \cdot k !}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение03.09.2020, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Kattte в сообщении #1481879 писал(а):
Получилось, что S = $\frac{1}{k!}$
Возможно, что я виноват, забыв упомянуть некоторый коэффициент при разности, на который Вы не обратили внимание при решении. Кроме разности, там есть ещё некоторый коэффициент, на которую эта разность умножается. Но вполне возможно, что Вы этот коэффициент сами заметили; тогда Вы неправильно вычислили знаменатель.

gris в сообщении #1481933 писал(а):
Не дотянет до $\frac{1}{120}$.
Разумеется, потому что правильный результат равен $\frac 1{600}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение04.09.2020, 07:56 
Аватара пользователя


05/06/20
10
Someone в сообщении #1481938 писал(а):
Kattte в сообщении #1481879 писал(а):
Получилось, что S = $\frac{1}{k!}$
Возможно, что я виноват, забыв упомянуть некоторый коэффициент при разности, на который Вы не обратили внимание при решении. Кроме разности, там есть ещё некоторый коэффициент, на которую эта разность умножается. Но вполне возможно, что Вы этот коэффициент сами заметили; тогда Вы неправильно вычислили знаменатель.

gris в сообщении #1481933 писал(а):
Не дотянет до $\frac{1}{120}$.
Разумеется, потому что правильный результат равен $\frac 1{600}$.


Да, точно, спасибо, я поняла, что там еще k в знаменателе появляется. Не правильно посчитала случайно. Действительно, получается S = $\frac{1}{k * k!}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group