Сумма ряда

[Kattte]

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}$$

Как найти сумму для произвольного k?

[gris]

Для единички решили? Астрономией не увлекаетесь?
Можно и в более продвинутой степени. Это подсказки

[Kattte]

gris в сообщении #1481628 писал(а):

Для единички решили? Астрономией не увлекаетесь?
Можно и в более продвинутой степени. Это подсказки

Да, для единички понятно, там телескопически все сокращается. По идее в общем случае тоже должно сокращаться, но что-то не могу понять как.

[Lia]

Kattte
Степенные ряды знаете?

[gris]

Такой же телескопический способ.
степенные ряды не проходили? там свойства помогают.

[Kattte]

gris в сообщении #1481633 писал(а):

Такой же телескопический способ.
степенные ряды не проходили? там свойства помогают.

Нет, степенные ряды еще нет. А без них точно не получится?

[matidiot]

Каждое слагаемое надо представить в виде суммы элементарных дробей (со знаменателем в виде двучлена первой степени по n) с помощью метода неопределенных коэффициентов. Лучше начинать с простых случаев k=2,3,..., дальше простое обобщение на общий случай. Посмотрите ещё по теме: Суммирование биномиальных коэффициентов.

[Kattte]

matidiot в сообщении #1481638 писал(а):

Каждое слагаемое надо представить в виде суммы элементарных дробей (со знаменателем в виде двучлена первой степени по n) с помощью метода неопределенных коэффициентов. Лучше начинать с простых случаев k=2,3,..., дальше простое обобщение на общий случай. Посмотрите ещё по теме: Суммирование биномиальных коэффициентов.

Спасибо! Я попробую!

[Someone]

Kattte в сообщении #1481636 писал(а):

Нет, степенные ряды еще нет. А без них точно не получится?

Точно получится, причём, совсем просто. Как советуют:

gris в сообщении #1481633 писал(а):

Такой же телескопический способ.

В общем, каждый член представляется в виде разности двух дробей, у которых знаменатели чуть короче, чем у него (получаются отбрасыванием одного из множителей).

[Kattte]

Someone в сообщении #1481800 писал(а):

Kattte в сообщении #1481636 писал(а):

Нет, степенные ряды еще нет. А без них точно не получится?

Точно получится, причём, совсем просто. Как советуют:

gris в сообщении #1481633 писал(а):

Такой же телескопический способ.

В общем, каждый член представляется в виде разности двух дробей, у которых знаменатели чуть короче, чем у него (получаются отбрасыванием одного из множителей).

Спасибо большое! Кажется у меня получилось решить. Получилось, что S = $\frac{1}{k!}$ Буду признательна, если вы проверите ответ.

[gris]

Что-то многовато просто на взгляд.
Ну при $k=5$ получается

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+5)}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}+\cdots=\frac{1}{720}+\frac{1}{5040}\cdots$$

Не дотянет до $\frac{1}{120}$. Слишком быстро сходится. Но будет вида $\frac{1}{M}$ конечно.

[Dmitriy40]

По моему будет $\dfrac{1}{k \cdot k !}$.

[Someone]

Kattte в сообщении #1481879 писал(а):

Получилось, что S = $\frac{1}{k!}$

Возможно, что я виноват, забыв упомянуть некоторый коэффициент при разности, на который Вы не обратили внимание при решении. Кроме разности, там есть ещё некоторый коэффициент, на которую эта разность умножается. Но вполне возможно, что Вы этот коэффициент сами заметили; тогда Вы неправильно вычислили знаменатель.

gris в сообщении #1481933 писал(а):

Не дотянет до $\frac{1}{120}$.

Разумеется, потому что правильный результат равен $\frac 1{600}$.

[Kattte]

Someone в сообщении #1481938 писал(а):

Kattte в сообщении #1481879 писал(а):

Получилось, что S = $\frac{1}{k!}$

Возможно, что я виноват, забыв упомянуть некоторый коэффициент при разности, на который Вы не обратили внимание при решении. Кроме разности, там есть ещё некоторый коэффициент, на которую эта разность умножается. Но вполне возможно, что Вы этот коэффициент сами заметили; тогда Вы неправильно вычислили знаменатель.

gris в сообщении #1481933 писал(а):

Не дотянет до $\frac{1}{120}$.

Разумеется, потому что правильный результат равен $\frac 1{600}$.

Да, точно, спасибо, я поняла, что там еще k в знаменателе появляется. Не правильно посчитала случайно. Действительно, получается S = $\frac{1}{k * k!}$