А вообще подход
Ignatovich можно довести до ума; зависимость

получена верная, только исследована она не полностью.
Утверждение. Для полей, у которых градиент стремится к нулю на бесконечности, (здесь бы стоило привести условие на асимптотику модуля градиента, но пока без него) справедливо следующее:
если частица уходит на бесконечность (полагаем, что поле на бесконечности равно нулю) и при этом

(то есть на бесконечности скорость отлична от нуля), то асимптота существует.
В качестве обоснования следующее размахивание рук: движение частицы, имеющей ненулевую скорость на бесконечности, будет асимптотически стремиться к равномерному прямолинейному движению, если она уходит на бесконечность, где действующие на неё силы бесконечно малы. Также можно вспомнить теорию рассеяния: in-асимптота есть всегда, если поле и его производные на бесконечности равны нулю и у частица есть ненулевая скорость.
Рассмотрим случай

.
Уравнение, определяющее момент падения на центр, имеет вид

. Поскольку нас интересует случай непадения частицы на центр, то нужно потребовать чтобы корни уравнения либо оба были комплексные (в этом случае траектория частицы не проходила через центр в прошлом и не пройдёт в будущем), либо оба отрицательные (в этом случае если продолжить траекторию в прошлое, то она пройдёт через центр, но в будущем не проходит). Итак, требование комплексности корней даёт

, то есть

; требование отрицательности даёт

и

, последнее неравенство сводится к

.
Итог: частица уходит на бесконечность, имеет там ненулевую скорость, и при этом траектория при

не проходит через центр если

или

.
При

частица также может достичь бесконечности если

и, казалось бы, требуется дополнительное исследование. Но в приведённом
pogulyat_vyshel ответе нет случая

,

,

, а ведь в этом случае очевидно, что частица будет уходить на бесконечность по прямой. Поэтому нужно договориться следует ли рассматривать случай нулевой полной энергии.