Интегральная погрешность

[svv]

Да, верно. Как я сказал, справа модули не нужны:
$|\Delta R|\leqslant \sqrt{ \int\limits_{a}^{b} (y_0(t+\tau))^2 dt \cdot \int\limits_{a}^{b} (\xi(t))^2 dt } + \sqrt{ \int\limits_{a}^{b} (x_0(t))^2 dt \cdot \int\limits_{a}^{b} (\eta(t+\tau))^2 dt }$
Собственно, это всё. Чтобы продвинуться дальше, надо оценить каждый из интегралов (исходя из максимального и минимального значения функции, например), а это можете сделать только Вы.

-- Пт авг 14, 2020 15:25:45 --

Если, например, для любого $t$ имеем $|y_0(t)|\leqslant y_{\max}$, какая отсюда получается оценка для первого интеграла?

[ViktorArs]

Спасибо большое за помощь!


Форма сигнала в идеале синус конечной длительности. Не в идеале, тоже синус конечной длительности но имеется нарастание и спад.
Это определяется диапазонами, которая может принимать ф-ция?
$ x_0 $ и $ y_0 $ могут принимать значения от 0 до 5.
$ \xi $ и $ \eta $ могут принимать значения $ (0 ... 5) \cdot 0.03 $ (погрешность 3%).

svv в сообщении #1479172 писал(а):

Если, например, для любого $t$ имеем $|y_0(t)|\leqslant y_{\max}$, какая отсюда получается оценка для первого интеграла?

Если $|y_0(t)|\leqslant y_{\max}$, также $|y_0(t)|^2\leqslant y_{\max}^2$.
$ \sqrt{\int\limits_{a}^{b} (y_0(t))^2 dt} \leqslant \sqrt{\int\limits_{a}^{b} y_{\max}^2 \sin^2({\omega t}) dt} = \sqrt{\frac{y_{\max}^2}{2} \left( t-\sin({\omega t})\cos({\omega t}) \right)} \left.\right|_{a}^{b} $
Первый знак меньше или равно я поставил т.к. реальный сигнал по площади меньше аналогичного идеального (с постоянной амплитудой $ y_{\max} $).
Дальше думаю так \left( t - \sin({\omega t})\cos({\omega t}) \right) \leqslant t - оно так?
если да, то тогда вроде дальше можно сделать так:
$ \sqrt{\frac{y_{\max}^2}{2} \left( t-\sin({\omega t})\cos({\omega t}) \right)} \leqslant \sqrt{\frac{y_{\max}^2 \cdot T_{sine}}{2}} $
T_{sine} - длительность синусоиды.
Похоже на правду? Или может можно более точную оценку сделать?

[ViktorArs]

PS: там я омегу наверно в нескольких местах упустил.

$ \sqrt{\int\limits_{a}^{b} (y_0(t))^2 dt} \leqslant \sqrt{\int\limits_{a}^{b} y_{\max}^2 \sin^2({\omega t}) dt} = \sqrt{\frac{y_{\max}^2}{4\omega} \left(2\omega t - \sin({2\omega t}) \right)} \left.\right|_{a}^{b} $
Первый знак меньше или равно я поставил т.к. реальный сигнал по площади меньше аналогичного идеального (с постоянной амплитудой $ y_{\max} $).
Дальше думаю так \left( 2\omega t - \sin({2\omega t}) \right) \leqslant 2\omega t - оно так?
если да, то тогда вроде дальше можно сделать так:
$ \sqrt{\frac{y_{\max}^2}{4\omega} \left( 2\omega t-\sin({2\omega t}) \right)} \leqslant \sqrt{\frac{y_{\max}^2}{4\omega} 2\omega t} \leqslant \sqrt{\frac{y_{\max}^2 \cdot T_{sine}}{2}} $
T_{sine} - длительность синусоиды.
Похоже на правду? Или может можно более точную оценку сделать?

[ViktorArs]

Добрый день.
Хотел сказать спасибо svv за большую помощь. Очень помогли проникуться проблемой за эти две недели.

svv в сообщении #1479172 писал(а):

$|\Delta R|\leqslant \sqrt{ \int\limits_{a}^{b} (y_0(t+\tau))^2 dt \cdot \int\limits_{a}^{b} (\xi(t))^2 dt } + \sqrt{ \int\limits_{a}^{b} (x_0(t))^2 dt \cdot \int\limits_{a}^{b} (\eta(t+\tau))^2 dt }$

Такой вопрос возник: функция допустим {\it U}_{\max}\sin{\omega t}. В такой оценке вроде как не учитывается то, что функция двухполярная. И что на каждом периоде погрешности положительной и отрицательной полуволн отчасти взаимно компенсируются. Или нет?
Т.е. вроде как грубоватая оценка получается.

[svv]

ViktorArs в сообщении #1479696 писал(а):

Такой вопрос возник: функция допустим ${\it U}_{\max}\sin{\omega t}$. В такой оценке вроде как не учитывается то, что функция двухполярная. И что на каждом периоде погрешности положительной и отрицательной полуволн отчасти взаимно компенсируются. Или нет?
Т.е. вроде как грубоватая оценка получается.

Назовём формулу для оценки погрешности непростительно грубой , если она всегда даёт завышенное значение (не считая тривиального случая нулевых сигналов и погрешностей).

Покажем, что наша формула непростительно грубой не является, даже для биполярных сигналов. Пусть для $-\pi\leqslant t\leqslant \pi$
$x_0(t)=y_0(t)=\sin t\,,$
$\xi(t)=\eta(t)=k\sin t\,,$
а вне этого отрезка все эти функции равны нулю. Здесь $k$ — малое положительное число. Имеем для $\tau=0$:
$R_0=\int\limits_{-\pi}^{\pi}x_0\, y_0\, dt = \pi$
$R=\int\limits_{-\pi}^{\pi}(x_0+\xi)\; (y_0+\eta)\; dt = \pi(1+k)^2$
$|\Delta R|=|R-R_0|=\pi(2k+k^2)\approx 2\pi k$

А формула даёт:
$|\Delta R|\leqslant \sqrt{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} y_0^2\; dt \cdot \int\limits_{-\pi}^{\pi} \xi^2\;dt } + \sqrt{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} x_0^2\;dt \cdot \int\limits_{-\pi}^{\pi} \eta^2\;dt }=2\sqrt{\pi\cdot k^2\pi}=2\pi k\,,$
то есть оценка точная.

Понятно, что в каких-то случаях оценка будет грубой. Но, как мне кажется, гипотетическая лучшая формула потребовала бы дополнительной информации о взаимосвязи сигналов и погрешностей. В отсутствие таковой информации имеем то, что имеем.

[ViktorArs]

Спасибо большое!!!
Все написанное понял. Буду думать дальше.

[ViktorArs]

Доброе утро.

svv в сообщении #1479812 писал(а):

Понятно, что в каких-то случаях оценка будет грубой. Но, как мне кажется, гипотетическая лучшая формула потребовала бы дополнительной информации о взаимосвязи сигналов и погрешностей. В отсутствие таковой информации имеем то, что имеем.

в продолжение темы . . .
Какая дополнительная информация еще может быть известна?
Сигнал - синус. Длительность - 100 мс. Я даже предположить не могу какая еще информация может быть. Крутизна 1-го фронта? Дело в том, что есть небольшая крутизна нарастания фронта - как на картинке в предыдущих постах.

Но я могу оценить только время нарастания. Если попытаться учесть данный факт - не будет ли это чрезмерное усложненеие? Ведь если хотябы сигнал представить не как $A\cdot \sin(\omega t)$, а как $A\cdot e^{t/\tau}\sin(\omega t)$ то это значительно сложнее уже будет?

[svv]

Немного обобщу пример. Пусть
$\xi(t)=\eta(t)=kx_0(t)=ky_0(t)$ (без конкретизации функций).
По-прежнему $\tau=0$ и $k$ мало. Тогда
$R=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(x_0+\xi)\; (y_0+\eta)\; dt = (1+k)^2\int\limits_{-\infty}^{\infty}x_0\; y_0\; dt=(1+k)^2 R_0$
$|\Delta R|=|R-R_0|=(2k+k^2)R_0\approx 2kR_0$

А формула даёт:
$|\Delta R|\leqslant \sqrt{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} y_0^2\; dt \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} \xi^2\;dt } + \sqrt{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} x_0^2\;dt \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} \eta^2\;dt }=$
$=\sqrt{ R_0 \cdot k^2 R_0 } + \sqrt{R_0 \cdot k^2 R_0}= 2kR_0$

И опять оценка точная. В частном случае можно было взять Ваш конкретный сигнал.
Вывод: знание только сигнала ничего не скажет о погрешности корреляционной функции. Потому я и написал осторожно: «дополнительная информация о взаимосвязи сигналов и погрешностей».

Естественно, нет никакой гарантии, что любую предоставленную Вами дополнительную информацию тут же можно будет конвертировать в более точную формулу.

[ViktorArs]

Спасибо!