Функция Ландау при фиксированном числе слагаемых.

[Сомик]

На форуме уже несколько раз обсуждалась функция Ландау.
Она определяется следующим образом $g(n)=max_{k_1+\dots+k_s=n}LCM(k_1,\dots,k_s)$. ($LCM$ - это НОК чисел ).

Меня интересуют оценки этой функции при фиксированном $s$. т.е. $g(n,s)=max_{k_1+\dots+k_s=n}LCM(k_1,\dots,k_s)$

[maxal]

Оценка сверху:

$$g(n,s)\leq \left(\frac{n}{s}\right)^s$$

Функция $g(n,s)$ с ростом $n$ будет к ней подходить очень близко, например, при $n$ равных сумме простых из $s$-созвездия.

[Сомик]

maxal писал(а):

Оценка сверху:

$$g(n)\leq \left(\frac{n}{s}\right)^s$$

В смысле

$$g(n,s)\leq \left(\frac{n}{s}\right)^s$$

? Спасибо, но это утверждение вполне очевидно. А вот на счёт $s$-созведий не совсем понятно. А при маленьких $s$, это скорее всего вообще не верно. Пусть $s=2$ и $n=2k+1$, тогда $g(n,s)=k(k+1)$, но $(k,k+1)$ не образуют 2-созвездия.
Мне, конечно, ещё интересны нижние оценки при малых s

[maxal]

Да, имелась в виде $g(n,s)$.
А 2-созвездия - это, например, простые близнецы. Если $p$ и $p+2$ - простые, то $g(2p+2,2) = p(p+2)$, что близко к верхней грани $(p+1)^2$. И это верно для бесконечного числа таких значений $n$ (в предположении бесконечности количества простых близнецов).

[Сомик]

maxal писал(а):

Если $p$ и $p+2$ - простые, то $g(2p+2,2) = p(p+2)$, что близко к верхней грани $(p+1)^2$.

Я не спорю с этим, это верно. Я просто говорю, что можно и не требовать простоты $p$. У меня такое ощущение, что нижние оценки можно получить при следующем образом. Пусть даны $n$ и $s$. Для простоты рассмотрим нечётное $s=2t+1$. Найдем максимальное $k$, такое что $(k-t)+(k-t+1)+...k+...(k+t) \leq n$. Ясно что $k=\lfloor n/s \rfloor$. Тогда $g(n,s) \geq LCM(k-t,...k+t)$ А при малых t это выражение близко к $(k-t)*...*(k+t)$. Но как оценить эту близость я не знаю

Кстати, я сейчас понял что, надо немного изменить определение Меня интересует немного другая функция. Надо чтобы было не точно $s$ слагаемых, а не более чем $s$ слагаемых.
$g(n,s)=max_{k_1+...+k_r \leq n, r \leq s}LCM(k_1,...,k_r)$