2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функция Ландау при фиксированном числе слагаемых.
Сообщение02.10.2008, 16:14 
Аватара пользователя
На форуме уже несколько раз обсуждалась функция Ландау.
Она определяется следующим образом $g(n)=max_{k_1+\dots+k_s=n}LCM(k_1,\dots,k_s)$. ($LCM$ - это НОК чисел ).

Меня интересуют оценки этой функции при фиксированном $s$. т.е. $g(n,s)=max_{k_1+\dots+k_s=n}LCM(k_1,\dots,k_s)$

 
 
 
 
Сообщение02.10.2008, 21:50 
Аватара пользователя
Оценка сверху: $$g(n,s)\leq \left(\frac{n}{s}\right)^s$$
Функция $g(n,s)$ с ростом $n$ будет к ней подходить очень близко, например, при $n$ равных сумме простых из $s$-созвездия.

 
 
 
 
Сообщение02.10.2008, 23:55 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
Оценка сверху: $$g(n)\leq \left(\frac{n}{s}\right)^s$$

В смысле $$g(n,s)\leq \left(\frac{n}{s}\right)^s$$? Спасибо, но это утверждение вполне очевидно. А вот на счёт $s$-созведий не совсем понятно. А при маленьких $s$, это скорее всего вообще не верно. Пусть $s=2$ и $n=2k+1$, тогда $g(n,s)=k(k+1)$, но $(k,k+1)$ не образуют 2-созвездия.
Мне, конечно, ещё интересны нижние оценки при малых s

 
 
 
 
Сообщение03.10.2008, 00:02 
Аватара пользователя
Да, имелась в виде $g(n,s)$.
А 2-созвездия - это, например, простые близнецы. Если $p$ и $p+2$ - простые, то $g(2p+2,2) = p(p+2)$, что близко к верхней грани $(p+1)^2$. И это верно для бесконечного числа таких значений $n$ (в предположении бесконечности количества простых близнецов).

 
 
 
 
Сообщение03.10.2008, 00:12 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
Если $p$ и $p+2$ - простые, то $g(2p+2,2) = p(p+2)$, что близко к верхней грани $(p+1)^2$.

Я не спорю с этим, это верно. Я просто говорю, что можно и не требовать простоты $p$. У меня такое ощущение, что нижние оценки можно получить при следующем образом. Пусть даны $n$ и $s$. Для простоты рассмотрим нечётное $s=2t+1$. Найдем максимальное $k$, такое что $(k-t)+(k-t+1)+...k+...(k+t) \leq n$. Ясно что $k=\lfloor n/s \rfloor$. Тогда $g(n,s) \geq LCM(k-t,...k+t)$ А при малых t это выражение близко к $(k-t)*...*(k+t)$. Но как оценить эту близость я не знаю :?

Кстати, я сейчас понял что, надо немного изменить определение :) Меня интересует немного другая функция. Надо чтобы было не точно $s$ слагаемых, а не более чем $s$ слагаемых.
$g(n,s)=max_{k_1+...+k_r \leq n, r \leq s}LCM(k_1,...,k_r)$

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group