2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 11:10 


19/08/18
7
Здравствуйте!

Представим себе задачу - требуется найти линию минимальной длины между двумя заданными точками, в которых дополнительно известны производные.

Поставим её следующим образом - найти функцию $y(x)$ на отрезке $[a, b]$, такую, что

$$
\int\limits_a^b \sqrt{1 + y'^2} dx \to \min,
$$

с дополнительными условиями:

$$
\begin{aligned}
& y(a) = y_a, \qquad y'(a) = y'_a, \\
& y(b) = y_b, \qquad y'(b) = y'_b.
\end{aligned}
$$

Вопрос - как найти эту линию?

Очевидно, что ответом будет прямая, если рассматривать функцию из класса непрерывных функций, непрерывных функций с непрерывной первой производной и т. д. Действительно разобьём весь отрезок на три $[a, a+ \varepsilon]$, $[a+\varepsilon,b- \delta]$, $[b-\delta, b]$, $\varepsilon, \delta>0$ - некоторые малые числа. На первом и третьем отрезке вводим некоторую функцию, которая соединяет с нужной степенью непрерывности прямую на втором отрезке с точкой на конце и соответствует условию, а затем устремляем $\varepsilon, \delta \to 0$.

Вопрос в том, как найти решение в классе непрерывно-дифференцируемых функций? Будет ли оно единственно? Где про решения вариационных задач в классе непрерывно-дифференцируемых функций можно прочитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 11:22 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
sputnik_as в сообщении #1480494 писал(а):
Поставим её следующим образом - найти функцию $y(x)$ на отрезке $[a, b]$, такую, что

$$
\int\limits_a^b \sqrt{1 + y'^2} dx \to \min,
$$

с дополнительными условиями:

$$
\begin{aligned}
& y(a) = y_a, \qquad y'(a) = y'_a, \\
& y(b) = y_b, \qquad y'(b) = y'_b.
\end{aligned}
$$

Вопрос - как найти эту линию?

ни как

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
соединить два отрезка даже бесконечно гладко нетрудно. Так что минимум как ваш предел не достижим, кроме очевидного частного случая. Попробуйте другие ограничения, например на максимум кривизны кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
gris в сообщении #1480497 писал(а):
Попробуйте другие ограничения, например на максимум кривизны кривой.
А тогда, наверное, надо через концы провести окружности, а потом к ним общую касательную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 11:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
alisa-lebovski, так ТС хочет бесконечную гладкость :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 11:59 


14/01/11
3138
gris в сообщении #1480497 писал(а):
Попробуйте другие ограничения, например на максимум кривизны кривой.

Эта задача, кстати, имеет весьма очевидное практическое применение: как отпилить и согнуть кусок металлопласта для соединения двух труб? :-)
Даны две точки в пространстве, два направления на концах и минимальный радиус кривизны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Мне помнится, досточтимый АКМ так железнодорожные пути соединял. Ну тогда решать надо кривыми, а не одномерными функциями. Да ещё надо какую-нибудь несверлимую преграду поставить для огибания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 13:24 


19/08/18
7
А пример бесконечно гладкого соединения с пределом длины, стремящейся к длине отрезка, можете привести, так как все мои идеи сводятся к функциям вида:

$$
y = \frac{y_b - y_a}{b - a} (x - a) + y_a + A \sin \left(\frac{x - a}{b - a} \pi (2 n + 1) \right).
$$

Но в данном случае не хватает одного параметра, так как отсюда следует:

$$
y'_a + y'_b = 2 \frac{y_b - y_a}{b - a},
$$

что сужает задачу.

$$
A = - \frac{(y'_b - y'_a)(b - a)}{\pi (2n + 1)}
$$

И главное - длина оказывается равна:

$$
\int\limits_a^b \sqrt{1 + \left[\frac{y_b - y_a}{b - a} + A \frac{\pi(2n + 1)}{b - a} \cos \left(\frac{x - a}{b - a} \pi (2n + 1)\right)\right]^2} dx = $$
$$
= \frac{b - a}{\pi (2n + 1)} \int\limits_0^{\pi (2n + 1)} \sqrt{1 + \left[\frac{y_b - y_a}{b - a} - (y'_b - y'_a) \cos \xi \right]^2} d\xi
$$

И что-то не видно, чтобы она стремилась к длине отрезка при $n \to \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Попробуйте использовать функции вида $\exp\{-1/x^2\}$, $x>0$, - эта функция, если доопределить ее в нуле нулем, бесконечно гладкая в нуле и имеет там все производные, равные нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Надо замену сделать. Чтобы одна точка ровно в нуле, а вторая на положительной оси абсцисс. И проследить, чтобы производные внутрь торчали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 14:56 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
alisa-lebovski в сообщении #1480525 писал(а):
Попробуйте использовать функции вида $\exp\{-1/x^2\}$, $x>0$, - эта функция, если доопределить ее в нуле нулем, бесконечно гладкая в нуле и имеет там все производные, равные нулю.


Это вы помогаете топикстартеру найти минимум которого не существует? Хорошо, одобряЭ
.
sputnik_as вам надо освоить анализ в объеме первых двух курсов физмат факультета, до того пытаться понять вариационные методы -- это пустая трата времени

-- 24.08.2020, 15:58 --

sputnik_as в сообщении #1480494 писал(а):
Очевидно, что ответом будет прямая, если рассматривать функцию из класса непрерывных функций, непрерывных функций с непрерывной первой производной и т. д

очевидно, что это чушь

-- 24.08.2020, 15:59 --

sputnik_as в сообщении #1480519 писал(а):
пример бесконечно гладкого соединения с пределом длины,

эк:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
pogulyat_vyshel в сообщении #1480531 писал(а):
Это вы помогаете топикстартеру найти минимум которого не существует? Хорошо, одобряЭ
Он уже понял, что не существует. Речь идет о построении семейства бесконечно гладких кривых, удовлетворяющих краевым условиям и дающих минимум в пределе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 16:16 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
alisa-lebovski в сообщении #1480533 писал(а):
Он уже понял, что не существует. Речь идет о построении семейства бесконечно гладких кривых, удовлетворяющих краевым условиям и дающих минимум в пределе.


то есть значит, минимума не существует, но если выполнить некоторый предельный переход , он таки появится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11478
Hogtown
alisa-lebovski в сообщении #1480533 писал(а):
Он уже понял, что не существует. Речь идет о построении семейства бесконечно гладких кривых, удовлетворяющих краевым условиям и дающих минимум в пределе.

Что значит "дают минимум в пределе"? В пределе (в разумном понимании) будет прямая, соединяющая эти две точки и "плюющая" на дополнительные ысловия которые некорректно ставить для вариациооной задачи, в котором функционал включает только производные до 1го порядка (были бы там производные второго порядка, то тогда пожалуйста (конечно, при соблюдении некоторых условий).

Ну и длина в пределе будет длиной прямой.

(Оффтоп)

Впрочем, для диссертации по техническим наукам сойдет (если какая слишком умная сволочь на ученом совете не вмешается)

 Профиль  
                  
 
 Re: Линия минимальной длины между двумя заданными точками
Сообщение24.08.2020, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12980
Касательно допиливания задачи до осмысленной. В случае трубы или там рельсов, помимо минимальности длины имеются другие, связанные с физикой задачи, ограничения. Оставляя кривую просто абстрактной кривой вы ничего не добьётесь. Нужны дополнительные соображения типа
gris в сообщении #1480497 писал(а):
Попробуйте другие ограничения, например на максимум кривизны кривой.
Можно также добавить квадрат кривизны в качестве штрафа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group