Линия минимальной длины между двумя заданными точками

[sputnik_as]

Здравствуйте!

Представим себе задачу - требуется найти линию минимальной длины между двумя заданными точками, в которых дополнительно известны производные.

Поставим её следующим образом - найти функцию $y(x)$ на отрезке $[a, b]$, такую, что

$$ \int\limits_a^b \sqrt{1 + y'^2} dx \to \min, $$

с дополнительными условиями:

$$ \begin{aligned} & y(a) = y_a, \qquad y'(a) = y'_a, \\ & y(b) = y_b, \qquad y'(b) = y'_b. \end{aligned} $$

Вопрос - как найти эту линию?

Очевидно, что ответом будет прямая, если рассматривать функцию из класса непрерывных функций, непрерывных функций с непрерывной первой производной и т. д. Действительно разобьём весь отрезок на три $[a, a+ \varepsilon]$, $[a+\varepsilon,b- \delta]$, $[b-\delta, b]$, $\varepsilon, \delta>0$ - некоторые малые числа. На первом и третьем отрезке вводим некоторую функцию, которая соединяет с нужной степенью непрерывности прямую на втором отрезке с точкой на конце и соответствует условию, а затем устремляем $\varepsilon, \delta \to 0$.

Вопрос в том, как найти решение в классе непрерывно-дифференцируемых функций? Будет ли оно единственно? Где про решения вариационных задач в классе непрерывно-дифференцируемых функций можно прочитать?

[pogulyat_vyshel]

sputnik_as в сообщении #1480494 писал(а):

Поставим её следующим образом - найти функцию $y(x)$ на отрезке $[a, b]$, такую, что

$$ \int\limits_a^b \sqrt{1 + y'^2} dx \to \min, $$

с дополнительными условиями:

$$ \begin{aligned} & y(a) = y_a, \qquad y'(a) = y'_a, \\ & y(b) = y_b, \qquad y'(b) = y'_b. \end{aligned} $$

Вопрос - как найти эту линию?

ни как

[gris]

соединить два отрезка даже бесконечно гладко нетрудно. Так что минимум как ваш предел не достижим, кроме очевидного частного случая. Попробуйте другие ограничения, например на максимум кривизны кривой.

[alisa-lebovski]

gris в сообщении #1480497 писал(а):

Попробуйте другие ограничения, например на максимум кривизны кривой.

А тогда, наверное, надо через концы провести окружности, а потом к ним общую касательную.

[gris]

alisa-lebovski, так ТС хочет бесконечную гладкость

[Sender]

gris в сообщении #1480497 писал(а):

Попробуйте другие ограничения, например на максимум кривизны кривой.

Эта задача, кстати, имеет весьма очевидное практическое применение: как отпилить и согнуть кусок металлопласта для соединения двух труб?
Даны две точки в пространстве, два направления на концах и минимальный радиус кривизны.

[gris]

Мне помнится, досточтимый АКМ так железнодорожные пути соединял. Ну тогда решать надо кривыми, а не одномерными функциями. Да ещё надо какую-нибудь несверлимую преграду поставить для огибания.

[sputnik_as]

А пример бесконечно гладкого соединения с пределом длины, стремящейся к длине отрезка, можете привести, так как все мои идеи сводятся к функциям вида:

$$ y = \frac{y_b - y_a}{b - a} (x - a) + y_a + A \sin \left(\frac{x - a}{b - a} \pi (2 n + 1) \right). $$

Но в данном случае не хватает одного параметра, так как отсюда следует:

$$ y'_a + y'_b = 2 \frac{y_b - y_a}{b - a}, $$

что сужает задачу.

$$ A = - \frac{(y'_b - y'_a)(b - a)}{\pi (2n + 1)} $$

И главное - длина оказывается равна:

$$ \int\limits_a^b \sqrt{1 + \left[\frac{y_b - y_a}{b - a} + A \frac{\pi(2n + 1)}{b - a} \cos \left(\frac{x - a}{b - a} \pi (2n + 1)\right)\right]^2} dx = $$ $$ = \frac{b - a}{\pi (2n + 1)} \int\limits_0^{\pi (2n + 1)} \sqrt{1 + \left[\frac{y_b - y_a}{b - a} - (y'_b - y'_a) \cos \xi \right]^2} d\xi $$

И что-то не видно, чтобы она стремилась к длине отрезка при $n \to \infty$.

[alisa-lebovski]

Попробуйте использовать функции вида $\exp\{-1/x^2\}$, $x>0$, - эта функция, если доопределить ее в нуле нулем, бесконечно гладкая в нуле и имеет там все производные, равные нулю.

[gris]

Надо замену сделать. Чтобы одна точка ровно в нуле, а вторая на положительной оси абсцисс. И проследить, чтобы производные внутрь торчали.

[pogulyat_vyshel]

alisa-lebovski в сообщении #1480525 писал(а):

Попробуйте использовать функции вида $\exp\{-1/x^2\}$, $x>0$, - эта функция, если доопределить ее в нуле нулем, бесконечно гладкая в нуле и имеет там все производные, равные нулю.

Это вы помогаете топикстартеру найти минимум которого не существует? Хорошо, одобряЭ
.
sputnik_as вам надо освоить анализ в объеме первых двух курсов физмат факультета, до того пытаться понять вариационные методы -- это пустая трата времени

-- 24.08.2020, 15:58 --

sputnik_as в сообщении #1480494 писал(а):

Очевидно, что ответом будет прямая, если рассматривать функцию из класса непрерывных функций, непрерывных функций с непрерывной первой производной и т. д

очевидно, что это чушь

-- 24.08.2020, 15:59 --

sputnik_as в сообщении #1480519 писал(а):

пример бесконечно гладкого соединения с пределом длины,

эк:)

[alisa-lebovski]

pogulyat_vyshel в сообщении #1480531 писал(а):

Это вы помогаете топикстартеру найти минимум которого не существует? Хорошо, одобряЭ

Он уже понял, что не существует. Речь идет о построении семейства бесконечно гладких кривых, удовлетворяющих краевым условиям и дающих минимум в пределе.

[pogulyat_vyshel]

alisa-lebovski в сообщении #1480533 писал(а):

Он уже понял, что не существует. Речь идет о построении семейства бесконечно гладких кривых, удовлетворяющих краевым условиям и дающих минимум в пределе.

то есть значит, минимума не существует, но если выполнить некоторый предельный переход , он таки появится.

[Red_Herring]

alisa-lebovski в сообщении #1480533 писал(а):

Он уже понял, что не существует. Речь идет о построении семейства бесконечно гладких кривых, удовлетворяющих краевым условиям и дающих минимум в пределе.

Что значит "дают минимум в пределе"? В пределе (в разумном понимании) будет прямая, соединяющая эти две точки и "плюющая" на дополнительные ысловия которые некорректно ставить для вариациооной задачи, в котором функционал включает только производные до 1го порядка (были бы там производные второго порядка, то тогда пожалуйста (конечно, при соблюдении некоторых условий).

Ну и длина в пределе будет длиной прямой.

(Оффтоп)

Впрочем, для диссертации по техническим наукам сойдет (если какая слишком умная сволочь на ученом совете не вмешается)

[Утундрий]

Касательно допиливания задачи до осмысленной. В случае трубы или там рельсов, помимо минимальности длины имеются другие, связанные с физикой задачи, ограничения. Оставляя кривую просто абстрактной кривой вы ничего не добьётесь. Нужны дополнительные соображения типа

gris в сообщении #1480497 писал(а):

Попробуйте другие ограничения, например на максимум кривизны кривой.

Можно также добавить квадрат кривизны в качестве штрафа.