Доказательство ВТФ. Дискретная динамика. Часть 1

[serval]

Формулировка ВТФ:
Для любого натурального числа $n>2$ уравнение: $a^n+b^n=c^n$ не имеет натуральных решений.

Для доказательства потребуется:
1. на примере случая $n=1$ : ввести понятие суммы двух чисел в терминах динамики одной катящейся тележки,
2. на примере случая $n=2$ : определить величины $a,b$ и $c$ через параметры двух катящихся тележек,
3. на примере случая $n=3$ : из выполнения условия существования тройки $a^3+b^3=c^3$ вывести неизбежность существования тройки $a^2+b^2=c^2$ .

План доказательства:
1. Случай $n=1$ :
введём понятие суммы двух чисел $a+b=c$ как сумму длины одной тележки и пройденного ей расстояния.

2. Случай $n=2$ :
2a. определим величины $a,b$ и $c$ через длины и скорости двух движущихся тележек,
2b. потребуем выполнения условия: $a^2+b^2=c^2$ ,
2c. найдём соотношение длин и скоростей тележек, при которых выполняется наложенное условие,
2d. покажем, что найденное соотношение может быть выполнено в натуральных числах.

3. Случай $n=3$ :
3a. определим величины $a,b$ и $c$ через длины и скорости трёх движущихся тележек,
3b. потребуем выполнения условия: $a^3+b^3=c^3$ ,
3c. найдём соотношение длин и скоростей тележек, при которых выполняется наложенное условие,
3d. сделаем предположение: найденное соотношение 3c может быть выполнено в натуральных числах,
3f. покажем, что выполнение в натуральных числах соотношения 3c для трёх тележек означает одновременное выполнение в натуральных числах соотношения 2c для двух тележек - первой и последней из трёх рассмотренных в пункте 3.

4. Сформулируем результат:
Поскольку выполнение в натуральных числах соотношения 2c означает существование пифагоровой тройки $a^2+b^2=c^2$ , сделаем вывод о ложности предположения 3d, а значит, о невозможности существования кубической тройки $a^3+b^3=c^3$ .

Доказательство:
1. Случай n=1
Пусть имеется сумма двух чисел $a+b=c$ , где $a<b$ . Придадим слагаемым различный смысл: пусть $a$ - длина тележки, $b$ - расстояние, которое она проходит со скоростью $v$ за время $t$ . Тогда их сумма $c=a+vt$ это сумма длинны тележки и пройденного ей расстояния.

2. Случай n=2
Пусть имеются две тележки неподвижно расположенные так, как показано в верхней части рисунка: $D$ - длинная нижняя, синего цвета, и $U$ - короткая верхняя, жёлтого цвета.
Тележка $D$ имеет длину $l_d$ , а тележка $U$ имеет длину $l_u$ .
В момент времени $t_0$ обе тележки одновременно начинают движение в положительном направлении: тележка $D$ со скоростью $v_d$ по земле, а тележка $U$ со скоростью $v_u$ по тележке $D$ .
Обе тележки останавливаются в момент времени $t$ , когда правый край тележки $U$ достигает правого края тележки $D$ , как показано в нижней части рисунка.



Выразим величины $a,b$ и $c$, отмеченные на рисунке, через параметры тележек:

$a=l_d=l_u+v_u t$

$b=(v_u+v_d)\ t$

$c=l_u+(v_u+v_d)\ t$

Тогда, если длины и скорости тележек принимают натуральные значения и удовлетворяют соотношению

$\displaystyle{\frac{l_d}{l_u}=2\cdot \frac{v_d}{v_u}+1}$

то величины $a,b$ и $c$ образуют пифагорову тройку $a^2+b^2=c^2$ .

Мы можем подобрать натуральные значения скоростей тележек $v_d$ и $v_u$ так, что их отношение будет натуральным числом $k$ , после чего подобрать натуральные значения длин тележек $l_d$ и $l_u$ , чтобы их отношение было равно числу $2k+1$ .
Таким образом, полученное соотношение для скоростей и длин тележек может быть выполнено в натуральных числах.



Сейчас я должен прерваться. Прошу дать мне тайм-аут для выполнения рисунка и оформления окончания доказательства.

[Утундрий]

serval
Вас заклинило?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: было.

-- 23.08.2020, 20:58 --

serval
Предупреждение за возобновление темы из Пургатория.