Формулировка ВТФ:Для любого натурального числа

уравнение:

не имеет натуральных решений.
Для доказательства потребуется:1. на примере случая

: ввести понятие суммы двух чисел в терминах динамики
одной катящейся тележки,
2. на примере случая

: определить величины

и

через параметры
двух катящихся тележек,
3. на примере случая

: из выполнения условия существования тройки

вывести неизбежность существования тройки

.
План доказательства:1. Случай
:введём понятие суммы двух чисел

как сумму длины
одной тележки и пройденного ей расстояния.
2. Случай
:2a. определим величины

и

через длины и скорости
двух движущихся тележек,
2b. потребуем выполнения условия:

,
2c. найдём соотношение длин и скоростей тележек, при которых выполняется наложенное условие,
2d. покажем, что найденное соотношение может быть выполнено в натуральных числах.
3. Случай
:3a. определим величины

и

через длины и скорости
трёх движущихся тележек,
3b. потребуем выполнения условия:

,
3c. найдём соотношение длин и скоростей тележек, при которых выполняется наложенное условие,
3d. сделаем предположение: найденное соотношение 3c может быть выполнено в натуральных числах,
3f. покажем, что выполнение в натуральных числах соотношения
3c для трёх тележек означает одновременное выполнение в натуральных числах соотношения
2c для двух тележек - первой и последней из трёх рассмотренных в пункте 3.
4. Сформулируем результат:Поскольку выполнение в натуральных числах соотношения 2c означает существование пифагоровой тройки

, сделаем вывод о ложности предположения 3d, а значит, о невозможности существования кубической тройки

.
Доказательство:1. Случай n=1Пусть имеется сумма двух чисел

, где

. Придадим слагаемым различный смысл: пусть

- длина тележки,

- расстояние, которое она проходит со скоростью

за время

. Тогда их сумма

это сумма длинны тележки и пройденного ей расстояния.
2. Случай n=2Пусть имеются две тележки неподвижно расположенные так, как показано в верхней части рисунка:

- длинная нижняя, синего цвета, и

- короткая верхняя, жёлтого цвета.
Тележка

имеет длину

, а тележка

имеет длину

.
В момент времени

обе тележки одновременно начинают движение в положительном направлении: тележка

со скоростью

по земле, а тележка

со скоростью

по тележке

.
Обе тележки останавливаются в момент времени

, когда правый край тележки

достигает правого края тележки

, как показано в нижней части рисунка.

Выразим величины

и

, отмеченные на рисунке, через параметры тележек:



Тогда, если длины и скорости тележек
принимают натуральные значения и удовлетворяют соотношению

то величины

и

образуют пифагорову тройку

.
Мы можем подобрать натуральные значения скоростей тележек

и

так, что их отношение будет натуральным числом

, после чего подобрать натуральные значения длин тележек

и

, чтобы их отношение было равно числу

.
Таким образом, полученное соотношение для скоростей и длин тележек может быть выполнено в натуральных числах.
Сейчас я должен прерваться. Прошу дать мне тайм-аут для выполнения рисунка и оформления окончания доказательства.