Вопрос о древних греках.

[вздымщик Цыпа]

Вот интересное дело. Откуда древние греки могли знать, что площадь сферы ровно вчетверо больше площади большого сечения соответствующего шара? Ведь интегрировать они не умели — это точно. Откуда я это взял — не спрашивайте. Откуда-то давно взял, откуда точно — погибло в склерозе. За то, что эти самые греки могли внятно отличать «точно» от «приблизительно», говорит тот факт, что они долго парились с квадратурой круга, а не удовлетворились одним из многочисленных приближенных решений.

Так вот, как можно было древнегреческими методами установить сей факт? Впрочем, я с радостью приму хоть сколько-нибудь аргументированную информацию о том, что в действительности они этого не знали.

[ET]

А там интегрировать не надо уметь. Там дифференцировать надо уметь. Этого они тоже не умели, но пределы правильно считать если и не умели, то прецеденты такого были точно. Ну а все что надо это производная от объема шара по радиусу - такой предел они вполне могли посчитать.
Правда тут другой вопрос возникает, на который я не знаю ответа: Как они объем шара посчитали?

[Усулгурт]

ET писал(а):

А там интегрировать не надо уметь. Там дифференцировать надо уметь. Этого они тоже не умели, но пределы правильно считать если и не умели, то прецеденты такого были точно. Ну а все что надо это производная от объема шара по радиусу - такой предел они вполне могли посчитать.
Правда тут другой вопрос возникает, на который я не знаю ответа: Как они объем шара посчитали?

Ну можно быть эмпирически догадливым.

[Anton Nonko]

ET в сообщении #147682 писал(а):

Как они объем шара посчитали?

Архимед находил объемы любых тел, погружая их в воду и измеряя объем вытесненной жидкости.

[tolstopuz]

http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_exhaustion

[ewert]

Нет, видимо, они всё-таки именно интегрировали, только в неявной форме.

Дело в том, что если описать вокруг сферы цилиндр и разбить всё на бесконечно тонкие слои плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра, то площадь каждого слоя сферы будет такой же, что и соответствующего слоя цилиндра. Откуда всё и следует.

Тут даже тригонометрии как таковой не надо, достаточно соображений подобия. А уж это-то греки умели соображать.
И с предельными переходами (пусть и не в формализованном виде) были вполне знакомы. Если не ошибаюсь, тому же Архимеду принадлежит формула для площади сегмента параболы. А получить её без предельного перехода невозможно. В принципе. Хотя бы потому, что без такого перехода невозможно сам вопрос поставить.

[вздымщик Цыпа]

Anton Nonko в сообщении #147733 писал(а):

Архимед находил объемы любых тел, погружая их в воду и измеряя объем вытесненной жидкости.

Измерением и первичными представлениями о размерности можно получить только следующее: $l(r)=2\pi_l r$, $s(r) = \pi_s r^2$, $S(r) = 4\pi_S r^2$, $V(r) = \frac43 \pi_V r^3$, где $l$ и $s$ — длина окружности и площадь круга, $S$ и $V$ — площадь сферы и объем шара. А $\pi$ с различными индексами — это какие-то числа, которые очень похожи друг на друга и «скорее всего» являются одним и тем же числом. Но чтобы что-то сказать более определенное, нужны какие-то дополнительные рассуждения.

ewert в сообщении #147750 писал(а):

видимо, они всё-таки именно интегрировали, только в неявной форме.

Да, скорее всего это так, и равенство $\pi_l = \pi_s$ получалось рассмотрением разбиения круга на множество мелких треугольников с вершинами в центре и остальными вершинами на окружности. В пределе они основаниями составляли окружность а их суммарная площадь была $s(r) = \frac 12 (2\pi_l r) r$. Аналогично получается равенство $\pi_S = \pi_V$ рассмотреием разбиения шара на множество пирамид. Но вот, чтобы получить равенство $\pi_S = \pi_s$ надо было построить что-то посложнее. Ведь простое разбиение полусферы на криволинейные треугольники ничего не давало. Предположение, что маленькие криволинейные треугольники — это почти то же, что и прямолинейные слишком грубо и дает неверный результат.

ewert в сообщении #147750 писал(а):

Дело в том, что если описать вокруг сферы цилиндр и разбить всё на бесконечно тонкие слои плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра, то площадь каждого слоя сферы будет такой же, что и соответствующего слоя цилиндра. Откуда всё и следует.

Вот, это как раз то построение, что и требовалось. Достаточно одного взгляда на два подобных треугольника, чтобы стало очевидно, что разница в радиусах в точности компенсируется наклоном поверхности сферы к плоскости сечения. Здорово. Спасибо.

Жаль только, что дискуссия так быстро заканчивается. Вообще древние греки были забавны еще много чем. Например, они подозрительно свободно управлялись с коническими сечениями безо всякой аналитической геометрии.

[epros]

вздымщик Цыпа писал(а):

Аналогично получается равенство $\pi_S = \pi_V$ рассмотреием разбиения шара на множество пирамид.

Вроде бы, разбиением шара на узкие пирамидки можно доказать только что его объём равен трети произведения площади сферы на радиус. Чтобы связать его с площадью большого круга нужны какие-то дополнительные построения.

[вздымщик Цыпа]

epros в сообщении #147948 писал(а):

Вроде бы, разбиением шара на узкие пирамидки можно доказать только что его объём равен трети произведения площади сферы на радиус. Чтобы связать его с площадью большого круга нужны какие-то дополнительные построения.

Все верно, об этом и разговор. $\pi_S$ — это констатнта из выражения площади сферы. Константа из выражения площади круга — $\pi_s$ ($s$ маленькое).

[Профессор Снэйп]

Кстати, а почему сразу о сфере начали спрашивать? Мне вот стало жутко интересно, как они вывели, что

$$ \frac{S}{r^2} = \frac{l}{2r} $$

где $S$ --- площадь круга, $r$ --- его радиус, а $l$ --- длина окружности. Тоже ведь интегрировать надо! Или можно обойтись вписанными/описанными правильными многоугольниками, устремляя количество сторон к бесконечности?

[В.П.]

Anton Nonko писал(а):

ET в сообщении #147682 писал(а):

Как они объем шара посчитали?

Архимед находил объемы любых тел, погружая их в воду и измеряя объем вытесненной жидкости.

Не могу указать ссылку, но уверен, что читал о том, что Архимед вычислял объём шара из принципа, который теперь называют именем Кавальери (частный случай т. Фубини). А именно, сечения шара совпадают по площади с сечениями описанного вокруг шара цилиндра без конусов с вершинами в центре шара и основаниями в основании цилиндра. Всегда иллюстрирую принцип Кавальери именно этим примером.

Добавлено спустя 11 минут 23 секунды:

Профессор Снэйп писал(а):

Или можно обойтись вписанными/описанными правильными многоугольниками, устремляя количество сторон к бесконечности?

Да, достаточно использовать $\sin x \sim x$ при $x \rightarrow 0$. Возможно последнее считалось очевидным из соображений здравого геометрического смысла.

[Brukvalub]

См. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%B8%D1%81%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BF%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F#.D0.9C.D0.B5.D1.82.D0.BE.D0.B4_.D0.B8.D1.81.D1.87.D0.B5.D1.80.D0.BF.D1.8B.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F