Заросший прудик.

[amon]

Из летних наблюдений. Не знаю, куда поместить, поэтому кладу пока сюда - пусть модераторы разбираются.
Задачка, которую мы так и не придумали как решать, и решили спросить умных людей. В олимпиадные не годится, а для ПРР тоже вроде не подходит.
Есть прудик (лужа), сплошь заросшая ряской. В нее тоненькой струйкой течет вода. Получается такая картинка:

Вложение:

pond.jpg [ 545.24 Кб | Просмотров: 0 ]

Требуется, скажем, определить (оценить) радиус чистого пятна. Все необходимые параметры (параметры струи, параметры в "уравнении состояния" ряски на поверхности и т.п.) считать известными. Задача типично-физическая, все надо придумать по ходу, но ответ известен - он на картинке.

[druggist]

Выглядит как иллюстрация к произведениям М. Басё, пятно несколько лишнее:) Кстати, как оно исчезает(затягивается) при перекрытии воды? Затекает, оставаясь окружностью и уменьшая радиус или сразу граница начинает разрушаться?

[amon]

druggist в сообщении #1479737 писал(а):

Кстати, как оно исчезает(затягивается)

От краев к центру, быстро, оставаясь более-менее круглым.

[EUgeneUS]

Ряска
1. Пусть энергия взаимодействия отдельной частицы с остальными зависит только от концентрации частиц: $U(n)$
2. Концентрация частиц в центрально симметричном случае зависит только от расстояния до центра: $U(n(r))$
3. Сила действующая на частицу со стороны других частиц: $F_1 = \frac{\partial U}{\partial r} = \frac{\partial U}{\partial n} \frac{\partial n}{\partial r}$

Вода.
1. (тут какие-то рассуждения про теорему Гаусса в двумерном случае).
2. $V_r(r) = \frac{A}{r}$, где A - характеристика струи
3. Сила действующая на ряску пропорциональна квадрату скорости $F_2 = B V_r^2 = AB \frac{1}{r^2}$, далее $AB := a$

Условие равновесия частицы.
$\frac{\partial U}{\partial n} \frac{\partial n}{\partial r} = \frac{a}{r^2}$ (1)

Посмотрим на форму $U(n)$.
1. С ростом концентрации, энергия должна расти.
2. Но при некоторой концентрации $n_0$ дальнейшему сближению мешают "хвостики" листьев и энергия частицы устремляется в бесконечность.
3. Подходящая функция

$$U(n) = \begin{cases} bn,&\text{если $n < n_0$;}\\ \infty,&\text{если $n=n_0$;}\\ \end{cases}$$

Подставляем в (1)
$b \frac{\partial n}{\partial r} = \frac{a}{r^2}$
тогда
$n = \frac{C}{b} - \frac{a}{3b} \frac{1}{r^3}$
$C$ - константа интегрирования, которая зависит от начальных условий.... на границе прудика и от начальной концентрации ряски.

На радиусе $r = \sqrt[3]{\frac{3a}{C}}$ концентрация становится нулевой, а значит будет нулевой и на меньших радиусах - отрицательной концентрации не бывает.

Можно "поиграться" с другими видами $U(n)$

[druggist]

(Оффтоп)

У меня смутные воспоминания: смотрел видео, там тоже в прудик только побольше, вываливают из самосвала кучу теннисных шариков, тоже границы образуются между чистой водой и покрытой сплошным слоем, возможно, ряска ведет себя подобным образом.

[EUgeneUS]

druggist

(Оффтоп)

druggist в сообщении #1479752 писал(а):

возможно, ряска ведет себя подобным образом.

1. Однозначно, ряске энергетически не выгодны перекрытия листев. Иначе, она бы собиралась в плотный комок, и не было бы вот этого:

amon в сообщении #1479744 писал(а):

druggist в сообщении #1479737

писал(а):
Кстати, как оно исчезает(затягивается) От краев к центру, быстро, оставаясь более-менее круглым.

2. Выгодно ли ряске сохранять контакт краями листьев? Не знаю.
а) если выгодно, то при достаточно большом размере пруда, ряска должна собираться в плотное покрытие (где листья не перекрываются, а каждый имеет максимальное количество соседей). В этом случае, размер чистого пятна под струёй от размеров пруда перестаёт зависеть.
б) если не выгодно (безразлично), то размер пятна должен всегда зависеть от размеров пруда. А если размер пруда $L \to \infty$, то и размер (стационарного) пятна стремится к бесконечности.

[druggist]

EUgeneUS в сообщении #1479770 писал(а):

А если размер пруда $L \to \infty$, то и размер (стационарного) пятна стремится к бесконечности.

Ну, вообще-то, водорсль после своего роста должна по идее делиться, т.е., в приципе, есть источник увеличения концентрации, но тем не менее, хорошо бы поперемещать пятно,перемещая источник(струю) ближе - дальше от берега, при этом расстояния от т падения струи до краев пятна должны быть разными, ближе к берегу - меньше(?)

[Eule_A]

Меня в своё время интересовала похожая картина, но возникающая в меньших масштабах - в кухонной раковине. Мне тогда предложили посмотреть статьи по теме "Hydraulic jump". Даже ссылку давали на статью в журнале, кажется, "Experiments in Fluids". Если интересно, могу или ссылку поискать, или просто саму статью. Картинки, помнится, красивые там были.

[amon]

Eule_A в сообщении #1479791 писал(а):

Если интересно, могу или ссылку поискать

Если несложно, киньте ссылку. У меня, естественно, своя завиральная, даже не теория, а намеки на нее, есть, но пока попридержу ее.

[Утундрий]

Ряска - штука довольно пассивная и картина, на мой взгляд, обусловлена главным образом движением жидкости.

[Eule_A]

Вот, даже посвежее, чем я раньше видел: https://doi.org/10.1061/(ASCE)HY.1943-7900.0001104
Вот эта постарше и с большим упором на эксперимент: https://doi.org/10.1007/BF00190950
(Проверил, всё открывается)

[Xugin]

druggist в сообщении #1479779 писал(а):

водорсль после своего роста должна по идее делиться

Для темы это не важно, но всё же. Ряска не водоросль, это однодольное высшее растение с корнем(свободным). Может конечно и вегетативно(побегами) размножаться, но и семенами не брезгует.

[amon]

Eule_A, спасибо!
Завтра дойду до службы - гляну. (Здесь, на выпасе, денег хотят.)

[Eule_A]

Наверное, всё-таки дословного сходства не будет: тут некоторая глубина присутствует довольно существенная, она должна влиять. Но, возможно, подход чем-нибудь полезен будет.

amon в сообщении #1479797 писал(а):

У меня, естественно, своя завиральная, даже не теория, а намеки на нее, есть, но пока попридержу ее.

Но если всё-таки до теории дело дойдёт, то продемонстрируйте, пожалуйста. Интересно же.

[Утундрий]

amon
Подбросьте ещё каких-то наблюдательных данных. Эксперимент проводить лень.