Комплексное пространство. 1. Альтернативная комплексификация

[Vladimir Pliassov]

1.

Возьмем $2n$-мерное вещественное евклидово пространство $L$, произвольный базис которого состоит из векторов $ {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$.

(То, что у половины этих векторов в обозначении стоит буква $i$, не должно сбивать нас с толку, пока что это вовсе не значит, что они имеют в себе что-то "комплексное". Это просто обозначение, которое в дальнейшем окажется удобным.)

В пространстве $L$ имеется $n$ подпространств $L_k$, каждое из которых имеет базис, состоящий из двух векторов $e_k, ie_k,\,\,\,\,k=\overline {1,n}$.

Назовем подпространства $L_k$ базисными плоскостями пространства $L$.

Возьмем вектор $x \in L$, $x = {\xi_1}{e_1} + i{\xi_1}i{e_1} + {\xi_2}{e_2} + i{\xi_2}i{e_2} + ... + {\xi_n}{e_n} + i{\xi_n}i{e_n}$,

где ${\xi_1},{\xi_2},\,...,{\xi_n},i{\xi_1},i{\xi_2},\,...,i{\xi_n}$ его координаты по базису $ {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$.

Вектор $x$ можно разложить в сумму $n$ векторов $a_k$, каждый из которых принадлежит соответствующей базисной плоскости $L_k$: $x = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} $, - поскольку $L$ является прямой суммой своих подпространств $L_k:L=L_1\oplus...\oplus\ L_n$.

Назовем векторы $a_k$ составляющими вектора $x$.

Назовем аргументом вектора $a \in {L_k}$ угол между $a$ и базисным вектором $e_k$.

(Аргумент вектора $a$, так же, как и его модуль, можно найти, зная его вещественные координаты по базисным векторам $e_k, ie_k$).

Определим произведение вектора $a$ на комплексное число $z$ следующим образом.

Будем считать результатом перемножения $a$ на $z$ вектор $b \in {L_k}$, модуль которого равен произведению модулей $a$ и $z$, а аргумент равен сумме их аргументов.

(Для этого пространство $L$ должно быть евклидовым, то есть таким, в котором определены длины векторов и углы между ними).

Каждую составляющую $a_k$ вектора $x$ можно представить в виде произведения базисного вектора $e_k$ и комплексного числа $z_k:a_k =z_k e_k $, причем аргумент вектора $a_k$ равен аргументу комплексного числа $z_k$ (если вектор $e_k$ единичный, то и модуль $a_k$ равен модулю $z_k$).

Таким образом, $x=a_1+a_2+...+a_n=z_1e_1+z_2e_2+...+z_ne_n$, где $z_1, z_2, ...+z_n$ комплексные числа.

(Пока что мы определили умножение вектора вещественного пространства на комплексное число только для вектора, находящегося в базисной плоскости, но при надлежащем выборе базиса любой вектор пространства может оказаться в базисной плоскости. К тому же немного ниже будет показано, как умножить произвольный вектор пространства - то есть не обязательно находящийся в базисной плоскости, - на комплексное число.)

Теперь, после введения операции умножения векторов на комплексные числа, назовем пространство $L$ комплексным и обозначим его $L^C$.

[С момента определения аргумента и модуля составляющей $a_k$ вектора $x$ мы можем смотреть на них (на аргумент и модуль) как на ее комплексную координату (одна комплексная координата включает в себя и модуль, и аргумент) и на пространство $L$ как на комплексное пространство $L^C$.]

Базисом пространства $L^C$ являются векторы $e_1, e_2, ..., e_n$, то есть его базисная размерность равна $n$, при том, что осевая размерность (число осей, в которых находятся векторы $ {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$) равна $2n$ .

При этом векторы $i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$ перестали быть базисными.

Таким образом, мы осуществили комплексификацию вещественного пространства $L$, правда, сделали это не так, как это обычно делается.

Для того, чтобы перейти от комплексных координат $z_1, z_2, ..., z_n$ вектора $x$ к его вещественным координатам ${\xi_1},{\xi_2},\,...,{\xi_n},i{\xi_1},i{\xi_2},\,...,i{\xi_n}$ надо перевести комплексные координаты каждой составляющей $a_k$ в вещественные. Для этого достаточно вернуться к представлению, что каждый вектор $a_k$ находится в вещественном двухмерном пространстве $L_k$ (подпространстве вещественного пространства $L$) с базисными векторами $e_k, ie_k$: $a_k=\xi_ke_k+ i\xi_kie_k$, - и, зная его модуль и аргумент (угол относительно вектора $e_k$), а также угол между векторами $e_k, ie_k$ и их модули, найти его координаты $\xi_k, i\xi_k$ по векторам $e_k, ie_k$.

При таком представлении у пространства $L$ снова становится $2n$ базисных векторов - это все векторы $ {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$, - то есть базисная размерность пространства $L$ снова становится $2n$, - само оно снова становится вещественным, и его можно обозначить $L^R$, чтобы подчеркнуть, что его векторы умножаются на вещественные числа.

(Осевая и базисная размерность вещественного пространства равны.)

Таким образом, $x=a_1+a_2+...+a_n= ({\xi_1}{e_1} + i{\xi_1}i{e_1}) + ({\xi_2}{e_2} + i{\xi_2}i{e_2}) + ... + ({\xi_n}{e_n} + i{\xi_n}i{e_n})$,

где ${\xi_1},{\xi_2},\,...,{\xi_n},i{\xi_1},i{\xi_2},\,...,i{\xi_n}$ вещественные координаты вектора $x$.

То есть мы произвели овеществление комплексного пространства $L^C$.

Чтобы умножить вектор $x \in L$ на комплексное число $z$ (так же, как и в случае умножения его на вещественное число), надо умножить на это число каждую из составляющих $a_k$ вектора $x$ и полученные произведения сложить:

$$zx=z(a_1+a_2+...+a_n)=za_1+za_2+...+za_n=$$

$$=z(z_1e_1)+z(z_2e_2)+...+z(z_ne_n)=(zz_1)e_1+(zz_2)e_2+...+(zz_n)e_n$$

что равносильно (так же, как и при умножении вектора $x$ на вещественное число) умножению на это число (на $z$) каждой координаты вектора $x$.

2.

Умножение вектора, лежащего в базисной плоскости $L_k$, на комплексное число можно определить в любой форме (не обязательно в геометрической, как мы это сделали).

Независимо от формы, на этот вектор следует смотреть как на комплексное число, которое умножается на другое комплексное число. На ось, в которой лежит базисный вектор $e_k$, следует смотреть как на вещественную ось плоскости комплексных чисел, при этом ось, в которой лежит базисный вектор $ie_k$, не обязана совпадать с мнимой осью.

3.

Назовем линейное пространство, в котором не определены длины векторов и углы между векторами, просто линейным пространством.

Пусть ${\tilde L}$ просто линейное вещественное пространство размерности $2n$, $L$ евклидово вещественное пространство той же размерности. Поставим во взаимно-однозначное соответствие каждому вектору $b$ пространства $L$ вектор ${\tilde b}$ пространства ${\tilde L}$.

Пусть векторы $x,y \in L$, векторы ${\tilde x},{\tilde y} \in {\tilde L}$.

Определим произведение вектора ${\tilde x}$ на комплексное число z по формуле $zx=y \Rightarrow z{\tilde x}={\tilde y}$.

Таким образом получаем комплексное просто линейное пространство ${\tilde L}$, в котором каждой паре "вектор, комплексное число" ставится в соответствие вектор того же пространства.

Если я ошибаюсь, пусть меня поправят.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479655 писал(а):

Таким образом, мы осуществили комплексификацию вещественного пространства $L$, правда, сделали это не так, как это обычно делается

И получили принципиально другой объект. Обычно комплексификацией пространства называется пространство, содержащее исходное как подпространство.
Ну да, $2n$-мерному вещественному пространству с выделенным базисом можно сопоставить $n$-мерное комплексное пространство. В чем пафос-то?

Vladimir Pliassov в сообщении #1479655 писал(а):

Назовем линейное пространство, в котором не определены длины векторов и углы между векторами, просто линейным пространством (аффинное пространство есть просто линейное пространство).

Линейное пространство - то же самое, что и векторное? Тогда аффинное пространство линейным не является.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1479657 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1479655 писал(а):

Назовем линейное пространство, в котором не определены длины векторов и углы между векторами, просто линейным пространством (аффинное пространство есть просто линейное пространство).

Линейное пространство - то же самое, что и векторное? Тогда аффинное пространство линейным не является.

Почему? Аффинное пространство не является векторным? Или линейным?

-- 18.08.2020, 02:36 --


Посмотрел в Википедии, оказывается, аффинное пространство не векторное. Убрал.

А как называется пространство, которое я назвал "просто линейным"?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479658 писал(а):

А как называется пространство, которое я назвал "просто линейным"?

Ну оно и называется линейным. Нельзя же взять и запретить на каком-то векторном пространстве вводить расстояние.

[Vladimir Pliassov]

Хотел бы исправить кое-что в тексте сообщения, но по правилам сайта не могу этого сделать и прошу принять во внимание, что в выражениях

$ i{e_1}, i{e_2}, \ldots, i{e_n},$

$i{\xi_1}, i{\xi_2}, \ldots, i{\xi_n},$

$\textbf x = {\xi_1}{\textbf e_1} + i{\xi_1}i{\textbf e_1} + {\xi_2}{\textbf e_2} + i{\xi_2}i{\textbf e_2} + \ldots + {\xi_n}{\textbf e_n} + i{\xi_n}i{\textbf e_n}$

и тому подобных вместо употребления $i$ должно быть употребление $'$, то есть должно быть

${\textbf e'_1},{\textbf e'_2}, \ldots, {\textbf e'_n},$

${\xi'_1}, {\xi'_2}, \ldots, {\xi'_n},$

$\textbf x = {\xi_1}{\textbf e_1} + {\xi'_1}{\textbf e'_1} + {\xi_2}{\textbf e_2} + {\xi'_2}{\textbf e'_2} + \ldots + {\xi_n}{\textbf e_n} + {\xi'_n}{\textbf e'_n}.$

И, разумеется, следует убрать предложение

"(То, что у половины этих векторов в обозначении стоит буква $i$, не должно сбивать нас с толку, пока что это вовсе не значит, что они имеют в себе что-то "комплексное". Это просто обозначение, которое в дальнейшем окажется удобным.)"