2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|
Сообщение14.08.2020, 19:54 
Аватара пользователя


22/07/18
15
Доказать, что если $y=f(x)$ - непрерывная функция, то непрерывны и:
а) $|f(x)|$
б) $f(|x|)$

Вот моя попытка доказательства пункта а):
Т.к. $f(x)$ - непрерывная функция, значит для $\forall x>0\ \exists\delta>0$ такое, что $|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$. Рассмотрим $||f(x)|-|f(x_0)||$. Из неравенства треугольника: $||f(x)|-|f(x_0)||< |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$. Значит $|f(x)|$ непрерывна. Надо что-то делать с $\delta$?
Пункт б):
1) если $x\geqslant 0$, то $|f(|x|)-f(|x_0|)|=|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$ и значит, $f(|x|)$ - непрерывна
2) если $x<0$, то $|f(|x|)-f(|x_0|)|=|f(-x)-f(-x_0)|$ и что делать дальше я не пойму :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|
Сообщение14.08.2020, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
В пункте a) всё правильно, не считая описки: вместо $\forall x>0$ читать $\forall \varepsilon>0$.
Вы показали, что для данного $\varepsilon$ то $\delta$, которое обеспечивает $|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$ (а оно существует в силу непрерывности $f(x)$), обеспечивает также $||f(x)|-|f(x_0)||<\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|
Сообщение15.08.2020, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
Bosmer2 в сообщении #1479213 писал(а):
$y=f(x)$ - непрерывная функция
Непрерывная где?

В пункте б) — неверное утверждение. $f(\lvert x\rvert)$ может оказаться или не определённой, или определённой, но разрывной в некоторых точках, если не наложить условия на область определения функции $f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|
Сообщение16.08.2020, 16:58 
Аватара пользователя


22/07/18
15
Someone в сообщении #1479320 писал(а):
Bosmer2 в сообщении #1479213 писал(а):
$y=f(x)$ - непрерывная функция
Непрерывная где? $f(x)$.


В задании написано просто непрерывная. А как функция от модуля может оказаться разрывной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|
Сообщение16.08.2020, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
Bosmer2 в сообщении #1479453 писал(а):
В задании написано просто непрерывная.
Подразумевается, что во всей области определения? А область определения какая? Если область определения совпадает с $\mathbb R$, то проблемы нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|
Сообщение16.08.2020, 18:17 
Аватара пользователя


22/07/18
15
Someone в сообщении #1479464 писал(а):
Bosmer2 в сообщении #1479453 писал(а):
В задании написано просто непрерывная.
Подразумевается, что во всей области определения? А область определения какая? Если область определения совпадает с $\mathbb R$, то проблемы нет.


Да, R, или какие-то промежутки из R.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|
Сообщение16.08.2020, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
Bosmer2 в сообщении #1479469 писал(а):
или какие-то промежутки из R.
Какие именно? В условии что по этому поводу сказано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|
Сообщение16.08.2020, 18:52 
Аватара пользователя


11/12/16
14701
уездный город Н
Bosmer2
"Определенность" и "непрерывность" - это не "вообще" свойства функции, а свойства функции в некоторых множествах точек.
Легко построить примеры, о которых говорил уважаемый Someone:
а) Функция f(x) на каком-то множестве точек (возможно, не только на нем) определена и непрерывна, а f(|x|) не определена (на том же множестве точек)
б) Функция f(x) на каком-то множестве точек (возможно, не только на нем) определена и непрерывна, а f(|x|) определена, но не непрерывна (на том же множестве точек)
Сможете?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group