Доказать непрерывность функций f(|x|) и |f(x)|

[Bosmer2]

Доказать, что если $y=f(x)$ - непрерывная функция, то непрерывны и:
а) $|f(x)|$
б) $f(|x|)$

Вот моя попытка доказательства пункта а):
Т.к. $f(x)$ - непрерывная функция, значит для $\forall x>0\ \exists\delta>0$ такое, что $|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$. Рассмотрим $||f(x)|-|f(x_0)||$. Из неравенства треугольника: $||f(x)|-|f(x_0)||< |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$. Значит $|f(x)|$ непрерывна. Надо что-то делать с $\delta$?
Пункт б):
1) если $x\geqslant 0$, то $|f(|x|)-f(|x_0|)|=|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$ и значит, $f(|x|)$ - непрерывна
2) если $x<0$, то $|f(|x|)-f(|x_0|)|=|f(-x)-f(-x_0)|$ и что делать дальше я не пойму

[svv]

В пункте a) всё правильно, не считая описки: вместо $\forall x>0$ читать $\forall \varepsilon>0$.
Вы показали, что для данного $\varepsilon$ то $\delta$, которое обеспечивает $|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$ (а оно существует в силу непрерывности $f(x)$), обеспечивает также $||f(x)|-|f(x_0)||<\varepsilon$.

[Someone]

Bosmer2 в сообщении #1479213 писал(а):

$y=f(x)$ - непрерывная функция

Непрерывная где?

В пункте б) — неверное утверждение. $f(\lvert x\rvert)$ может оказаться или не определённой, или определённой, но разрывной в некоторых точках, если не наложить условия на область определения функции $f(x)$.

[Bosmer2]

Someone в сообщении #1479320 писал(а):

Bosmer2 в сообщении #1479213 писал(а):

$y=f(x)$ - непрерывная функция

Непрерывная где? $f(x)$.

В задании написано просто непрерывная. А как функция от модуля может оказаться разрывной?

[Someone]

Bosmer2 в сообщении #1479453 писал(а):

В задании написано просто непрерывная.

Подразумевается, что во всей области определения? А область определения какая? Если область определения совпадает с $\mathbb R$, то проблемы нет.

[Bosmer2]

Someone в сообщении #1479464 писал(а):

Bosmer2 в сообщении #1479453 писал(а):

В задании написано просто непрерывная.

Подразумевается, что во всей области определения? А область определения какая? Если область определения совпадает с $\mathbb R$, то проблемы нет.

Да, R, или какие-то промежутки из R.

[Someone]

Bosmer2 в сообщении #1479469 писал(а):

или какие-то промежутки из R.

Какие именно? В условии что по этому поводу сказано?

[EUgeneUS]

Bosmer2
"Определенность" и "непрерывность" - это не "вообще" свойства функции, а свойства функции в некоторых множествах точек.
Легко построить примеры, о которых говорил уважаемый Someone:
а) Функция f(x) на каком-то множестве точек (возможно, не только на нем) определена и непрерывна, а f(|x|) не определена (на том же множестве точек)
б) Функция f(x) на каком-то множестве точек (возможно, не только на нем) определена и непрерывна, а f(|x|) определена, но не непрерывна (на том же множестве точек)
Сможете?