Интеграл от нескольких лоренцианов (дельта-функций)

[Physman]

Здравствуйте!

Пожалуйста, подскажите, как найти интеграл типа, $\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{f(x)dx}{[(x-x_1)^2+\delta^2]^2[(x-x_2)^2+\delta^2]}$.
Функция $f(x)$ здесь гладкая, типа полинома $2x^2+x_1-x_2+a$, где $a,x_1,x_2$ - это числа.
По сути, подынтегральное выражение представляет собой некоторый полином $x$ и произведение нескольких лоренцианов в разных степенях (при добавлении $\delta$ в числитель),
$\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\delta^4 f(x)dx}{[(x-x_1)^2+\delta^2]^2[(x-x_2)^2+\delta^2]}$
Их в пределе $\delta\rightarrow 0$ можно превратить в произведение дельта-функция, если это поможет вычислениям. Главный вопрос - как вывести или где найти формулы, дающие интеграл от произведения нескольких лоренцианов/дельта-функций.

Такая задача встретилась мне при попытке нахождения некоторой величины через функции Грина.

Заранее спасибо!

[Farest2]

А тупо через вычеты? Вроде, получится. И полином неважен, лишь бы сходимость интеграла была.

[Physman]

Проблема в том, что этот интеграл не единственный, после него есть ещё несколько интегралов в моём расчёте. Его через вычеты взять можно, но итоговое выражение становится громоздким и сложным для анализа. Так что, скорее всего, через вычеты - не самый оптимальный вариант.

Интересно не то, как просто взять интеграл, а именно как получать дельта функции из нескольких лоренцианов, в том числе с несколькими переменными.

Если поиграть с пакетом Mathematica, можно получить несколько формул, например,

$\lim\limits_{\eta\rightarrow+0} \frac{\eta^3}{(x^2+\eta^2/4)^2}&=&4\pi\delta(x)$,

или

$\lim\limits_{\eta\rightarrow+0} \frac{\eta^4}{(x_1^2+\eta^2/4)(x_2^2+\eta^2/4)((x_1-x_2)^2+\eta^2/4)^2} &=& \frac{16\pi^2}{3}\delta(x_1)\delta(x_2)$.

Вот хотелось бы выяснить, есть ли какой-нибудь, может, справочник по таким вещам? Или общий/известный метод?

[Otta]

Physman в сообщении #1479399 писал(а):

Если поиграть с пакетом Mathematica, можно получить несколько формул, например,

$\lim\limits_{\eta\rightarrow+0} \frac{\eta^3}{(x^2+\eta^2/4)^2}&=&4\pi\delta(x)$,

А если посчитать головой, то получится ноль. Откуда там быть дельта-функции?

[Vince Diesel]

Ну и чем вычеты не устраивают для таких рассуждений? Пусть у вас вычетами получилось, что ответ $4\pi f(x+i\delta)$. Тогда предел равен $4\pi \delta(x)$. Кстати, у вас дельта в двух смыслах, что неудобно.

-- Вс авг 16, 2020 14:14:08 --

Есть еще формула Сохоцкого — Племеля.

[kotenok gav]

Otta в сообщении #1479407 писал(а):

А если посчитать головой, то получится ноль. Откуда там быть дельта-функции?

Нулем оно будет для $x\ne0$. А для $x=0$ оно бесконечность.

[Physman]

Otta в сообщении #1479407 писал(а):

А если посчитать головой, то получится ноль. Откуда там быть дельта-функции?

Ну если $x\rightarrow 0$, то, казалось бы, мы имеем $\eta^3/\eta^4$, и это бесконечность. Отсюда и дельта-функция. Или что вы имеете в виду под расчётом головой?

[Otta]

kotenok gav в сообщении #1479411 писал(а):

Нулем оно будет для $x\ne0$. А для $x=0$ оно бесконечность.

Фсё, уели ) Ну ладно, что это не дельта-функция, как ее понимают математики, но даже как ее понимал Дирак - отсюда дотуда еще плясать и плясать.

Потому что здоровый вопрос: а ежели все так просто, откуда множитель перед дельта-функцией нарисуется?

-- 16.08.2020, 16:22 --

И если будем иметь $\eta^3/\eta^5$, тоже дельта получится?

Но однако, не прошлый век, вроде дельта-функция вполне легально и давно как линейный функционал понимается.

[Physman]

Otta в сообщении #1479415 писал(а):

kotenok gav в сообщении #1479411 писал(а):

Нулем оно будет для $x\ne0$. А для $x=0$ оно бесконечность.

Потому что здоровый вопрос: а ежели все так просто, откуда множитель перед дельта-функцией нарисуется?

Ну в этом как раз и заключается мой вопрос - как считать такие префакторы, где посмотреть. Что делать с произведением нескольких лоренцианов, в которых можно взять пределы и перейти к дельта-функциям?

[Otta]

Physman в сообщении #1479416 писал(а):

Ну в этом как раз и заключается мой вопрос - как считать такие префакторы, где посмотреть. Что делать с произведением нескольких лоренцианов, в которых можно взять пределы и перейти к дельта-функциям?

Physman
Ну если подходить к делу всерьез, я бы начала с нормального определения дельта-функции. И посмотрите и на формулу Сохоцкого, и на ее доказательство. Там много полезного. Vince Diesel выше ссылку положил, не знаю, насколько подробную.

И вычеты - хорошая штука. Хотя могут и не понадобиться. А могут и понадобиться. По ситуации.

[Eule_A]

Physman в сообщении #1479416 писал(а):

Ну в этом как раз и заключается мой вопрос - как считать такие префакторы, где посмотреть.

Считается всё, как при обычном интегрировании, просто в некоторый момент приходится применить интегральное представление дельта-функции, в котором уже все множители есть. А чтобы это интегральное представление почерпнуть - как и советуют Вам, нужно в нормальную теорию обобщённых функций заглянуть.
Чаще всего именно так и делается в приложениях. Помимо того, что уже упомянули.
Да, ещё полезно посмотреть о дельта-образных последовательностях. Это скорее на будущее.

[Physman]

Vince Diesel в сообщении #1479408 писал(а):

Ну и чем вычеты не устраивают для таких рассуждений?

Вычетами хорошо взять один интеграл, как я написал. Там дальше идут ещё интегралы, всего интегралов ещё 2 (кроме интеграла по $x$). Поэтому всё получается весьма громоздко. Тройной интеграл фактически. И вычеты весьма плодят количество членов.

Vince Diesel в сообщении #1479408 писал(а):

Кстати, у вас дельта в двух смыслах, что неудобно.

Да, извиняюсь, не очень удачно выбрал.

[Otta]

Physman в сообщении #1479422 писал(а):

Там дальше идут ещё интегралы, всего интегралов ещё 2 (кроме интеграла по $x$). Поэтому всё получается весьма громоздко. Тройной интеграл фактически. И вычеты весьма плодят количество членов.

Ну заочно и вслепую давать советы тоже трудно. Может, это все равно останется единственным рецептом (а почему должно быть легко?), а может и нет. Написали бы интеграл, может, были бы другие идеи.

[Physman]

Otta в сообщении #1479423 писал(а):

Написали бы интеграл, может, были бы другие идеи.

Хорошее предложение, вот весь интеграл:

$\int\limits_0^\infty \frac{dpp^3}{2\pi}\int\limits_0^\infty \frac{dp'p'}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{d\varepsilon}{2\pi} \frac{1}{\varepsilon-\varepsilon_c+\frac{i}{2\tau}} \frac{i/\tau}{[(\varepsilon-\varepsilon_v')^2+\frac{1}{(2\tau)^2}]^2} \left\{ \frac{2(\varepsilon-\varepsilon_v')(\varepsilon+\omega-\varepsilon_c')-2/(2\tau)^2} {(\varepsilon+\omega-\varepsilon_c')^2+\frac{1}{(2\tau)^2}} \right\} \frac{(2i)(2\varepsilon-\varepsilon_c-\varepsilon_c'+\frac{i}{\tau})}{(\varepsilon-\varepsilon_c')^2+\frac{1}{(2\tau)^2}} \frac{1}{(\varepsilon-\varepsilon_c)^2+\frac{1}{(2\tau)^2}}$

Здесь $\varepsilon_c=\frac{\Delta}{2}+\frac{p^2}{\Delta}$, $\varepsilon_c'=\frac{\Delta}{2}+\frac{p'^2}{\Delta}$, $\varepsilon_v=-\frac{\Delta}{2}-\frac{p^2}{\Delta}$, $\varepsilon_v'=-\frac{\Delta}{2}-\frac{p'^2}{\Delta}$.

Ну как-то так, если что-то непонятно - спрашивайте! Очень надеюсь, что кто-то знает, что с этим делать.

[Red_Herring]

Мрак!
$\lim _{\varepsilon \to 0} \frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2} =\pi \delta(x)$ в смысле обобщенных функций. Только не надо ссылаться впрямую на вычеты, поскольку $f(x)$ неаналитична.

Но у ТС там еще квадратик $\frac{1}{[x^2+\varepsilon^2]^2}$ и нет $\varepsilon$ в числителе, т.ч. преддела в смысле обобщенных функций нет. Исправляю: пусть будет $\frac{\varepsilon}{[(x-x_1)^2+\varepsilon^2]\,[(x-x_2)^2+\varepsilon^2]}$, получаем в пределе
$\pi \bigl[\delta(x-x_1) + \delta(x-x_2)\bigr] \times (x_1-x_2)^{-2}$ при $x_1\ne x_2$.