x+y+z+6 делит x^3+y^3+z^3

[dmd]

Пусть для целых $x,y,z$ справедливо $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=xyz$.

Тогда $x+y+z+6 \mid x^3+y^3+z^3$.

Помогите доказать или найти контрпример.

(мои попытки)

Преобразовал исходное уравнение в форму Пелля

$\Bigl((z + 6) (y (z - 2) + 2 z)\Bigr)^2 - (z + 6) (z - 2) \Bigl(4 x - 2 y - 2 z - y z\Bigr)^2 = 16 z^3 (z + 6)$

и численно проверил на большом диапазоне значений $z$ как параметра - утверждение выполняется.

При помощи оператора Результант можно показать, что $x+y+z+6 \mid (x^3+y^3+z^3)(x\vee y\vee z+6)$, но это вроде бы не доказывает утверждение.

[nnosipov]

dmd
Это утверждение верно. Просто его надо переформулировать на языке сравнений. Пусть $A=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2-xyz$, $B=x^3+y^3+z^3$, $C=x+y+z+6$. Имеем $z \equiv -x-y-6 \pmod{C}$, откуда (подстановкой $z$ в $A$ и $B$) получим $3A+B \equiv 0 \pmod{C}$. Если $x$, $y$, $z$ таковы, что $A=0$, то $B \equiv 0 \pmod{C}$, что и требовалось.

По поводу результанта. Когда есть линейные связи, от них лучше избавляться подстановкой (уменьшая тем самым число переменных). Использование результанта разумно в нелинейных ситуациях.