Теорема о сжимающем отображении

[bubu gaga]

Проверьте пожалуйста доказательство, если не трудно

Пусть дано полное метрическое пространство и определённое на нём отображение $f$. Если существует константа $0 < c < 1$, такая что для любых $x$, $y$ выполняется условие $ |f(x) - f(y)| \le c \, |x - y| $ то

1. $f$ - непрерывно
2. $y_{n+1} = f(y_n)$ - последовательность Коши
3. Существует единственная точка $y = f(y)$
4. Область сходимости к фиксированной точке - всё пространство

Доказательство
1.
Возьмём $\epsilon$-окрестность произвольной точки $f(a)$. Для $\delta < \epsilon / c$ верно

$$|x - a | < \delta \; \Rightarrow \; |y(x) - y(a)| \le c \, |x - a| < c \, \delta < \epsilon$$

2.

$$ |y_{n + 1} - y_n| \le c \, |y_n - y_{n - 1}| \le \ldots \le c^n \, |f(y_0) - y_0| < c^n \, N$$

$$ |y_m - y_n| \le |y_m - y_{m - 1}| + \ldots + |y_{n + 1} - y_n| \le (c^m + \ldots + c^n) \, N < \frac{c^n}{1 - c} \, N$$

Выбором $n$ можно контроллировать $|y_m - y_n|$ а значит это последовательность Коши

3.
Допустим есть две стационарных точки $y_1$ и $y_2$ и из стационарности следует

$$ |y_1 - y_2| = |f(y_1) - f(y_2)| \le c \, |y_1 - y_2| $$

, что возможно только если $y_1 = y_2$

4.
См. пункт 2. Последовательность является последовательностью Коши не зависимо от выбора начальной точки $y_0$

Спасибо!

[Someone]

Пункт 2 изложен как-то уж очень неформально.

В пункте 4 нет доказательства, что предел последовательности $y_n$ является стационарной точкой.

[bubu gaga]

Someone писал(а):

В пункте 4 нет доказательства, что предел последовательности $y_n$ является стационарной точкой.

4.
Пусть $y$ является стационарной точкой. Тогда

$$|y - y_{n + 1}| = |f(y) - f(y_n)| \le c \, |y - y_n|$$

.

Это означает, что последовательность

$$|y_n - y|$$

монотонно убывает и ограничена снизу нулём. Следовательно

$$\lim_{n \to \infty}{y_n} = y$$

Спасибо!

[Someone]

Немного не то. Вам требуется доказать, что если $y=\lim\limits_{n\to\infty}y_n$ (предел существует, так как последовательность фундаментальная и пространство полное), то $f(y)=y$. Мы же заранее не знаем, существует стационарная точка или нет.

[bubu gaga]

Дано $0 \le |y_n - f(y)| < c \, |y_{n - 1} - y|$. Последовательность $(y_{n - 1})$ сходится к $y$, и значит из неравенства следует, что последовательность $(y_n)$ сходится к $f(y)$. Последовательности $(y_n)$ и $(y_{n - 1})$ сходятся к одному пределу (следует из фундаментальности). Следовательно $y = f(y)$ то есть $y$ - стационарная точка.

[ewert]

у меня картинки не раскрыты, поэтому за деталями не уследить. Но по внешнему виду кодов как-то корявенько выходит. На самом деле стационарность точки следует попросту из сходимости последовательности и непрерывности функции (последняя, в свою очередь, следует из сжимаемости).

[bubu gaga]

ewert писал(а):

следует попросту

Хм, а как выглядят эти простые заклинания?

[TOTAL]

bubu gaga писал(а):

Дано $0 \le |y_n - f(y)| < c \, |y_{n - 1} - y|$.

Где это дано?

[bubu gaga]

Левая часть неравенства - свойство расстояния. Правая часть - берём два числа $y_{n - 1}$ и $y$. Применив к ним функцию $f$ получаем

$$|f(y_{n - 1}) - f(y) | \le c \, |y_{n - 1} - y|$$

[TOTAL]

bubu gaga писал(а):

Левая часть неравенства - свойство расстояния. Правая часть - берём два числа $y_{n - 1}$ и $y$. Применив к ним функцию $f$ получаем

$$|f(y_{n - 1}) - f(y) | < c \, |y_{n - 1} - y|$$

Почему $f(y)=y$?

[bubu gaga]

TOTAL писал(а):

Почему $f(y)=y$?

Если честно, то вопроса не понял. Это собственно то, что нужно доказать, и заранее неизвестно верно ли это равенство вообще. Поэтому применив $f$ к двум точкам $y_{n-1}$ и $y$ мы вобще-то получаем "новые" две точки $y_n$ и $f(y)$. Оба расстояния $|y_n - f(y)|$ и $|y_{n - 1} - y|$ стремятся к нулю, а дальше я уже писал.

[TOTAL]

bubu gaga писал(а):

TOTAL писал(а):

Почему $f(y)=y$?

Если честно, то вопроса не понял.

Всё, теперь я понял.
А ewert по-моему имел в виду просто перейти к пределу в соотношении $f(y_n)-y_{n+1}=0$

[bubu gaga]

TOTAL писал(а):

просто перейти к пределу в соотношении $f(y_n)-y_{n+1}=0$

О, да. Это действительно попроще будет. Спасибо!