Проверьте пожалуйста доказательство, если не трудно
Пусть дано полное метрическое пространство и определённое на нём отображение

. Если существует константа

, такая что для любых

,

выполняется условие

то
1.

- непрерывно
2.

- последовательность Коши
3. Существует единственная точка
4. Область сходимости к фиксированной точке - всё пространство
Доказательство
1.
Возьмём

-окрестность произвольной точки

. Для

верно
2.
Выбором

можно контроллировать

а значит это последовательность Коши
3.
Допустим есть две стационарных точки

и

и из стационарности следует

, что возможно только если
4.
См. пункт 2. Последовательность является последовательностью Коши не зависимо от выбора начальной точки
Спасибо!