Вещественного проективного пр-во как клеточный комплекс

[GYNJ]

Хочу показать(индуктивно), что $\mathbb{R}P^{n}=e_{0}\bigcup e_{1}\bigcup...e_{n}\bigcup $
- клеточный комплекс, состоящий из каждой клетки каждой размерности по одному экземпляру. для n=1 это очевидно, для n=2: $\mathbb{R}P^{2}=S^{2} \slash (z \sim -z) $
, тогда можно рассмотреть верхнюю полусферу и она без границы будет двумерной клеткой, а граница состоит из нульмерной и двумерной клеткой при этом приклеивающее отображение будет таким: ${f \colon S^{1} \to S^{1}} $
(т.к $ \mathbb{R}P^{1}=S^{1} $) при этом понятно что это отображение можно записать явно, например $ f(z)=z $(или $z^{5} $, неважно). У меня вопрос, как понять что в дальнейшем можно приклеивать n-мерную клетку к (n-1)-мерную для получения последующего проективного пространства и как можно будет явно записать приклеивающие отображение f?

[vpb]

Непонятно, что в данном случае понимается под "показать". Это как бы очевидное утверждение. "Показать" может означать разве что написать доказательство аккуратно, исходя из первых принципов ... Попробовали бы Вы сами написать аккуратное рассуждение, длиной строк 50. А там, возможно, Вам бы и подсказали, что в этом рассуждении плохо.

[GYNJ]

vpb в сообщении #1475517 писал(а):

Непонятно, что в данном случае понимается под "показать". Это как бы очевидное утверждение. "Показать" может означать разве что написать доказательство аккуратно, исходя из первых принципов ... Попробовали бы Вы сами написать аккуратное рассуждение, длиной строк 50. А там, возможно, Вам бы и подсказали, что в этом рассуждении плохо.

Ну под "показать" я имел в виду доказательство. Я смог записать клеточных комплекс только для двухмерного вещ. проективное пр-ва, т.к там все наглядно и "приклеивающее отображение" можно легко придумать и записать явно. Если тогда известно что$ \mathbb{R}P^{n-1}=e_{0}\bigcup e_{1}\bigcup...e_{n-1}\bigcup $, то чтобы получить $ \mathbb{R}P^{n} $ надо всего лишь добавить одну n-мерную клетку, мне не ясно. На счет отображения в общем случае, возможно оно будет таким: ${f \colon S^{n-1} \to \mathbb{R}P^{n-1}: D^{n} \to D^{n} \slash \partial D }$ и тогда профакторизованная граница шара и будет приклеиваться к (n-1)-мерной клетке, но я не уверен

[vpb]

Видите ли, тут под "доказательством" можно разные вещи понимать. Можно на уровне геометрической очевидности, тут доказывать нечего. Можно на уровне книги Хатчера, т.е. с каким-то рукомаханием вместо доказательства. По рукомаханию я вообще не специалист. (Да и Хатчера не читал.) А можно более аккуратно, где-то на уровне книги Бурбаки "Общая топология". Я могу (вероятно) подсказать, по шагам, как делать, только не факт, что оно Вам нужно. Какая в вашем курсе книжка считается основной по этому предмету (если это из учебного курса задача) ?

[GYNJ]

vpb в сообщении #1475552 писал(а):

Видите ли, тут под "доказательством" можно разные вещи понимать. Можно на уровне геометрической очевидности, тут доказывать нечего. Можно на уровне книги Хатчера, т.е. с каким-то рукомаханием вместо доказательства. По рукомаханию я вообще не специалист. (Да и Хатчера не читал.) А можно более аккуратно, где-то на уровне книги Бурбаки "Общая топология". Я могу (вероятно) подсказать, по шагам, как делать, только не факт, что оно Вам нужно. Какая в вашем курсе книжка считается основной по этому предмету (если это из учебного курса задача) ?

Я как раз читаю Хатчера и пример я взял оттуда, но там он разобран очень кратко и как раз опущены вещи, в которых у меня возникли вопросы.
(Еще вопрос немного не по теме, вы сказали об уровне книги "Хатчера, т.е. с каким-то рукомаханием вместо доказательства", вы так характеризуете его док-ва в книге только в сравнении с Бурбаки или вообще?(мне это важно т.к выбрал как основу для алгебраической топологии))

[vpb]

GYNJ в сообщении #1475571 писал(а):

только в сравнении с Бурбаки или вообще?

В сравнении с собственным здравым смыслом (я люблю подробные и аккуратные доказательства).

По моему, в предисловии к Хатчеру надо большими буквами написать: "Мы предполагаем, что читатель достаточно свободно владеет основами теоретико-множественной топологии, и при необходимости может внести в доказательства, которые часто даны на наглядном уровне, всю необходимую строгость, дополнив их пропущенными деталями рассуждений".

Посмотрел я то место в Хатчере, правда в самом начале. Вот там как само собой разумеющееся пишется, что фактор $S^n$ по эквивалентности $x\sim -x$ --- это то же самое, что фактор $D^n$ по отношению эквивалентности, при котором отождествляются противоположные точки границы.
Наглядно-то это понятно. А вот понятно ли Вам, что на самом деле это нетривиальное утверждение, требующее доказательства ? (Про клеточные разбиения пока не говорим).

[GYNJ]

vpb в сообщении #1475594 писал(а):

GYNJ в сообщении #1475571 писал(а):

только в сравнении с Бурбаки или вообще?

В сравнении с собственным здравым смыслом (я люблю подробные и аккуратные доказательства).

По моему, в предисловии к Хатчеру надо большими буквами написать: "Мы предполагаем, что читатель достаточно свободно владеет основами теоретико-множественной топологии, и при необходимости может внести в доказательства, которые часто даны на наглядном уровне, всю необходимую строгость, дополнив их пропущенными деталями рассуждений".

Посмотрел я то место в Хатчере, правда в самом начале. Вот там как само собой разумеющееся пишется, что фактор $S^n$ по эквивалентности $x\sim -x$ --- это то же самое, что фактор $D^n$ по отношению эквивалентности, при котором отождествляются противоположные точки границы.
Наглядно-то это понятно. А вот понятно ли Вам, что на самом деле это нетривиальное утверждение, требующее доказательства ? (Про клеточные разбиения пока не говорим).

То что$ \mathbb{R}P^{n}=D^{n} \slash (z \sim -z, z \in \partial \mathsf{D}^{n})$ мне не ясно и я не очень понял к чему это, причем если дальше идет описание $ \mathbb{R}P^{n-1}= \partial \mathsf{D}^{n} \slash (z \sim -z )$

[vpb]

А вот то, что $S^n/(z\sim -z)$ и $D^n/(z\sim -z,\ z\in\partial D^n)$ совпадают (точнее, "естественно отождествляются") как множества (без учета топологии), понятно ?

[GYNJ]

vpb в сообщении #1475770 писал(а):

А вот то, что $S^n/(z\sim -z)$ и $D^n/(z\sim -z,\ z\in\partial D^n)$ совпадают (точнее, "естественно отождествляются") как множества (без учета топологии), понятно ?

Прощу прощения что долго не мог ответить, Это же следует из того что верхняя часть полусферы гомеоморфна шару, где гомеоморфизмом будет проекция сферы на экваториальный шар? и тогда получается что нам надо лишь будет отождествить оставшиеся точки на границе шара - то что вы и написали

[vpb]

GYNJ в сообщении #1477050 писал(а):

Прощу прощения что долго не мог ответить,

Да ничего, у меня самого долгоотвечание часто случается.

GYNJ в сообщении #1477050 писал(а):

то же следует из того что верхняя часть полусферы гомеоморфна шару, где гомеоморфизмом будет проекция сферы на экваториальный шар? и тогда получается что нам надо лишь будет отождествить оставшиеся точки на границе шара - то что вы и написали

Эта фраза непонятна (еще более непонятна, чем то, что написано в Хатчере). В Хатчере под $D^n$ понимается не $n$-шар, а прямо половина $n$-сферы (которая $n$-шару, конечно, гомеоморфна).

Свою задачу как консультанта я вижу сейчас в том, чтоб Вы увидели, в чем мутность стиля Хатчера, и как надо излагать нормально.

Давайте начнем с такого. Пусть $X$ --- некоторое множество, $R$ --- некоторое отношение эквивалентности на $X$. Можно рассмотреть фактормножество $X/R$. Дальше, пусть $Y\subseteq X$ ---подмножество, $R'$ --- ограничение $R$ на $Y$. Тогда $Y/R'$ можно считать подмножеством в $X/R$ (почему ?).
Вопрос (=упражнение) : при каком условии $Y/R'=X/R$ ?

[vpb]

(Ответ)

При условии, что каждый $R$-класс содержит хотя бы один элемент из $Y$, не правда ли ?

[pppppppo_98]

Какой-то вынос мозгов, а не вопрос ну коли уж задан... Вкладываете $S^n$ в $R^{n+1}$. Проводите на сфере прямую соединяющую две точки, и строите любую гиперплоскость $H_1$ не проходящую через центр шара, ограниченный сферой. Все прямуе разлбьются на два непересекающихся множества: $K$ коллинеарные проводимой гиперплоскости $H_1$, и $\bar{K}$неколлинеарные. Прямые из множества $\bar{K}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с точками гиперплоскости в которой они пересекают гиперплоскость (аксиома евклидовой геометрии)...Значит $\bar{K}$ - гомеоморфно клетке $e_n$ (так по моему в ваших обозначениях. Множество прямых K - лежит в пересечении в гиперплоскости $H_0$, параллельной $H_1$, и проходящая через центр упомянутого шара. Пересечение этой гиперплоскости и сферы $S^n$, есть сфера $S^{n-1}$, у которой отождествлены противоположные точки ака пространство $RP^{n-1}$ . По индукции - состоит из всех клеток размерности меньше n. Ну и начальный шаг индукции сфера $S^0$ - две точки , которые по отношение эквивалентности переходят в единственный класс эквивалентности - точку прямой $RP^0$ ака клетку $e^0$. Непрерывность на границе очевидна

[GYNJ]

Спасибо! Теперь понятно почему надо брать именно по одной клетке каждой размерности

[vpb]

GYNJ в сообщении #1478169 писал(а):

Теперь понятно почему надо брать именно по одной клетке каждой размерности

Хм. Я то думал, что на уровне геометрической очевидности оно и так было вам понятно с самого начала. Стало быть, ошибался...

[GYNJ]

vpb в сообщении #1478625 писал(а):

GYNJ в сообщении #1478169 писал(а):

Теперь понятно почему надо брать именно по одной клетке каждой размерности

Хм. Я то думал, что на уровне геометрической очевидности оно и так было вам понятно с самого начала. Стало быть, ошибался...

Ну мне и правда, почему то, было неясно почему надо добавлять по одной клетке, но + я еще смог найти Объяснение в книге Фоменко Фукс по топологии, там тоже неплохо объяснено