Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[Otta]

vicvolf в сообщении #1478235 писал(а):

Это можно записать не только через неравенство, но и через утверждение об асимптотике:

$$P_n(f(n)=A_n+O(b(n)\sigma(n)))\to 1,\quad n\to\infty$$

Нельзя. Выше уже отметили, еще раз скажу, иначе.
$P_n$ - по сути, частота события на начальном отрезке натурального ряда. Говорить о том, с какой частотой выполняется неравенство на этом отрезке - можно. Но утверждение $f(n)=A_n+O(b(n)\sigma(n))$ -- носит асимптотический характер при $n\to \infty$. Начальный отрезок натурального ряда к нему не имеет отношения.

[vicvolf]

Otta в сообщении #1478245 писал(а):

vicvolf в сообщении #1478235 писал(а):

Это можно записать не только через неравенство, но и через утверждение об асимптотике:

$$P_n(f(n)=A_n+O(b(n)\sigma(n)))\to 1,\quad n\to\infty$$

Нельзя. Выше уже отметили, еще раз скажу, иначе.
$P_n$ - по сути, частота события на начальном отрезке натурального ряда. Говорить о том, с какой частотой выполняется неравенство на этом отрезке - можно. Но утверждение $f(n)=A_n+O(b(n)\sigma(n))$ -- носит асимптотический характер при $n\to \infty$. Начальный отрезок натурального ряда к нему не имеет отношения.

Вы же читали ту тему. Мы пришли к выводу:

alisa-lebovski в сообщении #1478157 писал(а):

Они сходятся по распределению к случайной величине, которая с вероятностью единица равна единице, т.е. к единице.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1478253 писал(а):

Мы пришли к выводу:

И?
Где имение, а где вода. Вы читали мое сообщение?

[alisa-lebovski]

Под знаком $P_n$ должно стоять утверждение о двух конечных числах $m\le n$.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478200 писал(а):

Пусть $A(m,n)$ есть некое утверждение о числах $1\le m\le n$, $I(.)$ - индикатор. Полагаю, надо обозначить

$$P_n(A(m,n))=\frac{1}{n}\sum_{m=1}^nI(A(m,n))$$

и писать

$$P_n(A(m,n))\to 1,\quad n\to\infty,$$

так будет корректно. В частности,

$$P(|f(m)-A_n| \leq b(n)\sigma_n)=1$$

переписать как

$$P_n(|f(m)-A_n| \leq b(n)\sigma_n)\to 1.\quad n\to\infty.$$

Можете дать другой пример утверждения $A(m,n)$ для арифметической функции, кроме аналога закона больших чисел, для которого выполняется:

$$P_n(A(m,n))\to 1,\quad n\to\infty?$$

vicvolf в сообщении #1478235 писал(а):

Кстати $\sum_{m=1}^nI(A(m,n))$ - это арифметическая функция количества натуральных чисел $m \leq n$, удолетворяющих утверждению $A(m,n)$.

Это можно записать более универсально, через знак мощности множества, а в фигурных скобках указать условие отбора членов множества - $\#\{...\}$.

Например, $\pi(n)=\#\{p:p \leq n\}$. Кстати справедлива запись $P_n=\pi(n)/n \to 0, n \to \infty$, в смысле сходимости по распределению к случайной величине 0?

alisa-lebovski в сообщении #1478244 писал(а):

Можно записать либо

$$P_n(|f(m)-A_n|\le Cb(n)\sigma(n))\to 1,\quad n\to\infty,\quad\forall C>0,$$

либо

$$f(n)=A_n+O(b(n)\sigma(n)),\quad n\to\infty,$$

и это будет иметь разный смысл.

Согласен, к сожалению, раньше не увидел.

[kotenok gav]

vicvolf в сообщении #1478349 писал(а):

Можете дать другой пример утверждения $A(m,n)$ для арифметической функции, кроме аналога закона больших чисел, для которого выполняется:

$$P_n(A(m,n))\to 1,\quad n\to\infty?$$

Конечно: $m\ne n$.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478349 писал(а):

Можете дать другой пример утверждения $A(m,n)$ для арифметической функции, кроме аналога закона больших чисел, для которого выполняется:

$$P_n(A(m,n))\to 1,\quad n\to\infty?$$

Например, "$m - составное число" (имея в виду $m\le n$). Для утверждения "$m$ - простое число" будет сходимость к нулю.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478356 писал(а):

Для утверждения "$m$ - простое число" будет сходимость к нулю.

$$A(m,n)=\pi(n)=\#\{m:m \leq n, m=p\}.$$

$$P_n(A(m,n))=\frac {\#\{m:m \leq n, m=p\}} {n}= \pi(n)/n \to 0, n \to \infty.$$

Возможны следующие формы записи аналога закона больших чисел для арифметической функции $f(m)$, среднего значения и среднего квадратичного отклонения арифметической функции соответственно: $A_n, \sigma_n$ и неограниченно возрастающей функции $b(n), n \to \infty$:

$$A(m,n)=\#\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

$$P_n(A(m,n))= \frac {\#\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}} {n} \to 1, n \to \infty.$$

или

$$A(m,n)=\#\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| > \sigma_n b(n)\}.$$

$$P_n(A(m,n))= \frac {\#\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| > \sigma_n b(n)\}} {n} \to 0, n \to \infty.$$

[alisa-lebovski]

Только $A(m,n)$ - это утверждение в фигурных скобках, без решетки, в остальном правильно.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478408 писал(а):

Только $A(m,n)$ - это утверждение в фигурных скобках, без решетки, в остальном правильно.

Исправлю:

Возможны следующие формы записи аналога закона больших чисел для арифметической функции $f(m)$, среднего значения и среднего квадратичного отклонения арифметической функции соответственно: $A_n, \sigma_n$ и неограниченно возрастающей функции $b(n), n \to \infty$:

$$A(m,n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

$$P_n(A(m,n))= \frac {\#\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}} {n} \to 1, n \to \infty.$$

или

$$A(m,n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| > \sigma_n b(n)\}.$$

$$P_n(A(m,n))= \frac {\#\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| > \sigma_n b(n)\}} {n} \to 0, n \to \infty.$$

Например, известны асимптотики вероятностных характеристик арифметической функции количества простых делителей натурального числа:

$$A_n=\ln\ln (n)+o(1), \sigma_n = (\ln\ln(n))^{1/2}+o(1).$$

Возьмем в качестве функции $b_n=(\ln\ln(n))^{\epsilon}$ и на основании аналога закона больших чисел арифметических функций получим формы теремы Харди-Рамануджана для любого $\epsilon>0$:

$$A(m,n)=\{m: m \leq n, |\omega(m)-\ln\ln (n)| \leq (\ln\ln(n))^{1/2+\epsilon}\}.$$

$$P_n(A(m,n))= \frac {\#\{m: m \leq n, |\omega(m)-\ln\ln (n)| \leq (\ln\ln(n))^{1/2+\epsilon}\}} {n} \to 1, n \to \infty.$$

$$A(m,n)=\{m: m \leq n, |\omega(m)-\ln\ln (n)| > (\ln\ln(n))^{1/2+\epsilon}\}.$$

$$P_n(A(m,n))= \frac {\#\{m: m \leq n, |\omega(m)-\ln\ln (n)| > (\ln\ln(n))^{1/2+\epsilon}\}} {n} \to 0, n \to \infty.$$

[alisa-lebovski]

Да.

[vicvolf]

Напомню Ваше сообщение из другой темы:

alisa-lebovski в сообщении #1478155 писал(а):

Обозначим случайные величины - индикаторы неравенства на отрезках $[1,x]$ через $\xi_x$. Тогда $\xi_x=1$ с вероятностью $g(x)/x$ и $\xi_x=0$ с вероятностью $1-g(x)/x$. Они при $x\to +\infty$ сходятся по распределению к случайной величине, с вероятностью единица равной единице, т.е. попросту к единице. в терминологии теории вероятностей, это сходимость по распределению

Думаю, что сходится не обязательно к 1, а к пределу вероятности $\lim_{x \to \infty} {g(x)/x}$, если он существует.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1478419 писал(а):

$$A(m,n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

Странная формула: выражение слева от знака равенства зависит от $m$, а выражение справа --- нет.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1478460 писал(а):

vicvolf в сообщении #1478419 писал(а):

$$A(m,n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

Странная формула: выражение слева от знака равенства зависит от $m$, а выражение справа --- нет.

Это не формула, а утверждение, зависящее от $m,n$.

[nnosipov]

После знака равенства написано множество, которое от $m$ не зависит.