Об одном симметричном случайном блуждании

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478062 писал(а):

Кстати, как Вы рассматривается асимптотику случайной величины в данном случае?

Нет такого понятия. Бывают разные виды сходимости случайных величин. В случае функции Мебиуса есть сходимость по распределению в следующем смысле. Если обозначить через $\mu_n$ функцию Мебиуса как случайную величину на $[1,n]$, то $\mu_n$ сходятся по распределению при $n\to\infty$, т.е. вероятности того, что величина равна $-1,0,+1$, стремятся к известным пределам.

[vicvolf]

Под асимптотикой я понимал сходимость случайной величины почти наверное (почти всюду), например, в законе повторного логарифма.

[alisa-lebovski]

Здесь нет сходимости почти наверное, поскольку каждая случайная величина определена на своем вероятностном пространстве. Для сходимости почти наверное должно быть общее вероятностное пространство.

[Otta]

vicvolf
Я понимаю Вашу потребность в экстренном ликбезе, но ведь Вам все это уже говорили чуть ли ни в каждой Вашей теме. И книжки, Вы говорите, читали... Как это объяснить?

[vicvolf]

Otta в сообщении #1478101 писал(а):

vicvolf
Я понимаю Вашу потребность в экстренном ликбезе, но ведь Вам все это уже говорили чуть ли ни в каждой Вашей теме. И книжки, Вы говорите, читали... Как это объяснить?

Понимаете, в вероятностной теории чисел - много гипотез, которые отличаются от доказательств нюансами. Вот я в этом и разбираюсь. А тут попал на компетентного человека по теории вероятностей, которому интересны вопросы вероятностной теории чисел, что является редкостью на данном форуме. В свое время Эрдеш не мог доказать одну теорему, пока не попал на лекции по теории вероятности Каца. Потом они вместе доказали знаменитую теорему Эрдеша-Каца.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1478107 писал(а):

Понимаете, в вероятностной теории чисел - много гипотез, которые отличаются от доказательств нюансами.

А у Вас ведь речь не о гипотезах. А об определениях. По-моему, Вы нарушаете естественный порядок вещей.

alisa-lebovski в сообщении #1478028 писал(а):

Вам все-таки необходимо повторить теорию вероятностей

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478097 писал(а):

Здесь нет сходимости почти наверное, поскольку каждая случайная величина определена на своем вероятностном пространстве. Для сходимости почти наверное должно быть общее вероятностное пространство.

Извините, а как тогда понимать теорему Харди-Рамануджана: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BD%D0%B0 , что почти наверное для арифметической функции количества простых делителей натурального числа $m \leq n$ - $\omega(m)$ выполняется: $|\omega(m)- lnln(n)| \leq {(lnln(n))}^{1/2+\epsilon}$ ?

[alisa-lebovski]

Я не вижу там слов "почти наверное". Речь идет о том, что доля чисел, для которых это неравенство выполняется, стремится к 1. Если определить случайные величины - индикаторы того, что для числа $k$ неравенство выполняется, брать их на $[1,n]$, то они будут сходиться по распределению к 1. Возможно, в вероятностной теории чисел слова "почти наверное" употребляются в другом смысле, чем в теории вероятностей, и это вводит Вас в заблуждение.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478128 писал(а):

Я не вижу там слов "почти наверное". Речь идет о том, что доля чисел, для которых это неравенство выполняется, стремится к 1.

Если положить $x=n$, то эта доля равна вероятности значения случайной величины на нашем вероятностном пространстве $1/n$, с учетом, что все $n$ значений равновероятны.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478138 писал(а):

Если положить $x=n$, то эта доля равна вероятности значения случайной величины на нашем вероятностном пространстве $1/n$, с учетом, что все $n$ значений равновероятны.

Не поняла этой фразы. Если использовать обозначения по ссылке, переформулирую так. Если определить случайные величины - функции-индикаторы того, что для числа $n$ неравенство выполняется, брать их на отрезках $[1,x]$, то эти случайные величины сходятся по распределению к 1 при $x\to +\infty$, потому что доля значений "1" среди значений на числах $n\le x$ стремится к единице. Речь идет не об утверждении для какого-то $n\le x$, где можно положить $n=x$, а о совокупности всех $n\le x$. Вероятность - доля на этой совокупности. А при любом конкретном $n$ неравенство либо выполняется, либо нет, в этом нет ничего вероятностного.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478144 писал(а):

Речь идет не об утверждении для какого-то $n\le x$, где можно положить $n=x$, а о совокупности всех $n\le x$.

Нет, ищется количество натуральных чисел $n \leq x$, удовлетворяющих данному неравенству - $g(x)$ и берется отношение $g(x)/x$, т.е. наша вероятность.

Я думаю, что когда $x \to \infty$, то мы получаем просто предел данной вероятности, равный 1, который не является вероятностью.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478154 писал(а):

Нет, ищется количество натуральных чисел $n \leq x$, удовлетворяющих данному неравенству - $g(x)$ и берется отношение $g(x)/x$, т.е. наша вероятность.

Я об этом и говорю.

vicvolf в сообщении #1478154 писал(а):

Я думаю, что когда $x \to \infty$, то мы получаем просто предел данной вероятности, равный 1, который не является вероятностью.

Почему же он не является вероятностью? Обозначим случайные величины - индикаторы неравенства на отрезках $[1,x]$ через $\xi_x$. Тогда $\xi_x=1$ с вероятностью $g(x)/x$ и $\xi_x=0$ с вероятностью $1-g(x)/x$. Они при $x\to +\infty$ сходятся по распределению к случайной величине, с вероятностью единица равной единице, т.е. попросту к единице. Но в терминологии теории вероятностей, это сходимость по распределению, а не почти наверное.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478155 писал(а):

Они при $x\to +\infty$ сходятся по распределению к случайной величине, с вероятностью единица равной единице, т.е. попросту к единице.

Не узнаю. Что за новый вид сходимости случайных величин Вы открыли - по распределению с вероятностью равной 1? И потом при сходимости по распределению случайная величина определена не однозначно и можно говорить только о распределении. Вы просто устали. Извините, я Вас замучил сегодня.

[alisa-lebovski]

Следите за запятыми. Они сходятся по распределению к случайной величине, которая с вероятностью единица равна единице, т.е. к единице.

[vicvolf]

Как известно, с некоторыми мыслями стоит переспать:

alisa-lebovski в сообщении #1478157 писал(а):

Они сходятся по распределению к случайной величине, которая с вероятностью единица равна единице, т.е. к единице.

Согласен. Добавлю, что в вероятностной теории чисел (вероятностное пространство, построенное на начальном интервале натурального ряда для арифметических функций) возможна только сходимость по распределению. В данном случае по распределению, с вероятностью равной 1. Именно в этом смысле надо понимать теорему Харди-Рамануджана.

Наверно, поэтому Э. Кубилюс в свой монографии "Вероятностные методы в теории чисел" на стр. 53 называет этот случай аналогом закона больших чисел для арифметических функций. Давайте теперь вернемся в мою тему, в которой Вы ранее приняли участие topic141739.html