Сопряженный оператор, Лаплас и обратный Лаплас

[zoo]

ewert в сообщении #145784 писал(а):

Совершенно напрасно утверждается. Это тождество означает лишь симметричность, а вовсе не самосопряжённость.

да симметричность, а не самосопряженность, тут ничего другого и не подразумевается, т.к. оператор действует из одного пространства в другое, самосопряженным в настоящем функановском смысле является оператор $\Delta^{-1}:X^*\to X\subset X^*$

ewert в сообщении #145784 писал(а):

И потом: что это вообще за сопряжённые пространства? В гильбертовом-то пространстве?

а в чем проблема?

[ewert]

zoo писал(а):

а в чем проблема?

В отсутствии ответов на вопросы. Что такое сопряжённое подпространство в гильбертовом пространстве? И: что такое оператор, сопряжённый к ${d^2\over dx^2}$ без граничных условий? И: вообще всё страньше и страньше.

[zoo]

ewert писал(а):

zoo писал(а):

а в чем проблема?

В отсутствии ответов на вопросы. Что такое сопряжённое подпространство в гильбертовом пространстве? И: что такое оператор, сопряжённый к ${d^2\over dx^2}$ без граничных условий? И: вообще всё страньше и страньше.

пространство $X$ является подпространством в $H^1(V)$ и само является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения $H^1$, к этому пространству взяли сопряженное $X^*$, про принадлежность пространства $X^*$ какому-либо другому гильбертову пространству я не говорил, поэтому приписывать мне свои фантазии вроде "сопряжённое подпространство в гильбертовом пространстве" не надо.
Что касается второго вопроса, про ${d^2\over dx^2}$ я про не думал и думать пока не собираюсь, у нас тут все с граничными условиями ,не надо уходить от темы, а кроме того, терминологию с сопряженным/симметричным оператором мы прояснили, я с Вами согласился.

[ewert]

zoo писал(а):

пространство $X$ является подпространством в $H^1(V)$ и само является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения $H^1$, к этому пространству взяли сопряженное $X^*$, про принадлежность пространства $X^*$ какому-либо другому гильбертову пространству я не говорил, поэтому приписывать мне свои фантазии

Что значит "не говорил"? Если подпространство -- гильбертова пространства, то сопряжённое к нему есть просто его замыкание; в данном случае -- просто оно само. Это во-первых.

Во вторых: при чём тут скалярное произведение в $H^1$? Когда говорят о самосопряжённости (или симметричности, в данном случае это неважно) лапласиана, то имеют в виду стандартное скалярное произведение в $L_2$.

В-третьих: лапласиан нельзя задавать на (пардон, в) $H^1$. Т.е, если очень приспичит, то можно, но тогда его значения будут обобщёнными функциями и, следовательно, не принадлежать $H^1$. Т.е. оператор не будет действовать вгильбертовом пространстве, а раз так, то и говорить о его самосопряжённости бессмысленно.
Хуже того: нельзя говорить о самосопряжённости просто потому, что у него вообще не существует сопряжённого (он задан не на плотном множестве).

-------------------------------------------------------------------
Это с одной стороны. А с тругой -- сподобился -таки всё же вникнуть в суть задачи, и пришёл к выводу, что она откровенно левая.

Если, как и было изначально выписано, поставлена только половина граничных условий, то задача некорректна -- обратный к лапласиану не существует.

Если, как потом было якобы уточнено, имеются всё же в виду полные периодические условия, то задача банальна (собственно, её просто нет) -- оператор в существенном самосопряжён.

Можно ещё, конечно, предположить, что из студентов таким ненавязчивым способом пытаются вытянуть доказательство ограниченности обратного к лапласиану. Но это уже откровенное извращение.

В общем, с какой стороны и на кого ни глянь -- сплошные загадки.

[zoo]

ewert в сообщении #145985 писал(а):

Что значит "не говорил"? Если подпространство -- гильбертова пространства, то сопряжённое к нему есть просто его замыкание; в данном случае -- просто оно само.

Пусть $\Omega$ -- огран. область с хорошей границей.
А $H^1_0(\Omega)$ -- подпространство в $H^1(\Omega)$ состоящее из функций с нулевым следом. Значит по-Вашему выходит, что $(H^1_0(\Omega))^*=H^{-1}(\Omega)$ "это просто оно само" т.е. $H^1_0(\Omega)$ и $H^{-1}(\Omega)$ одно и тоже. Жалко, вот [Adams, Sobolev Spaces] думает, что $H^{-1}(\Omega)$ состоит из обобщенных функций среди которых есть функции не имеющие суммируемой плотности.

ewert в сообщении #145985 писал(а):

В-третьих: лапласиан нельзя задавать на (пардон, в) $H^1$.

Да, что Вы говорите, а Лионс (Некоторые методы решения нелинейных краевых задач) думает, что можно.

ewert в сообщении #145985 писал(а):

Т.е, если очень приспичит, то можно, но тогда его значения будут обобщёнными функциями и, следовательно, не принадлежать $H^1$.

Хорошо, что Вы это поняли, именно про это я Вам и толкую $X^*$ -- это и есть те самые обобщенные функции.

ewert в сообщении #145985 писал(а):

Т.е. оператор не будет действовать вгильбертовом пространстве, а раз так, то и говорить о его самосопряжённости бессмысленно.

Вы повторяете мои слова, я же уже согласился с тем, что $\Delta$ следует называть симметричным а не самосопряженным. Самосопряженным является оператор $\Delta^{-1}:X^*\to X\subset X^*$.

ewert в сообщении #145985 писал(а):

Хуже того: нельзя говорить о самосопряжённости просто потому, что у него вообще не существует сопряжённого (он задан не на плотном множестве).

а это как понимать Вы хотите сказать, что $C^2(V)$ не плотно в $H^1(V)$?
а задача действительно элементарная, совершенно корректно поставленая элементарная задача

[ewert]

zoo писал(а):

Пусть $\Omega$ -- огран. область с хорошей границей.
А $H^1_0(\Omega)$ -- подпространство в $H^1(\Omega)$ состоящее из функций с нулевым следом. Значит по-Вашему выходит, что $(H^1_0(\Omega))^*=H^{-1}(\Omega)$ "это просто оно само" т.е. $H^1_0(\Omega)$ и $H^{-1}(\Omega)$ одно и тоже. Жалко, вот [Adams, Sobolev Spaces] думает, что $H^{-1}(\Omega)$ состоит из обобщенных функций среди которых есть функции не имеющие суммируемой плотности.

В-ка-кой-мет-ри-ке?!

zoo писал(а):

, я же уже согласился с тем, что $\Delta$ следует называть симметричным а не самосопряженным. Самосопряженным является оператор $\Delta^{-1}:X^*\to X\subset X^*$.

Совершенно напрасно согласились. Та Дельта будет воистину самосопряжена, если к полному набору граничных условий приплесть принадлежность к $H^2$. Что, собственно, по умолчанию всегда и делается.
Ладно.

Оператор называется самосопряжённым, если он совпадает со своим сопряжённым.. Точка.

Оператор $B$ в гильбертовом пространстве называется сопряжённым к $A$, если выполняется тождество $(Au,v)=(u,Bv)$. При этом элемент $v$ считается принадлежащим области определения $B$, если линейный функционал $(Au,v)$ для данного $v$ оказывается ограниченным для всех $u$ из области определения оператора $A$. Точка.

Элемент $u$ является обобщённым решением уравнения $Au=f$ для положительно определённого оператора $A$, если этот элемент даёт минимум функционалу ${1\over2)(Au,u)-(u,f)$ на области определения замыкания квадратичной формы оператора $A$. Ещё одна точка.

При этом область определения соответствующего оператора (в случае лапласиана) не имеет никакого отношения к $H^1$. Она по-прежнему в основном совпадает с $H^2$, но -- с соответствующими коррективами в возможных точках разрыва коэффициентов дифференциального уравнения.
Вы зачем-то систематически путаете понятие сопряжённого оператора с понятием обобщённого решения, хотя непосредственного отношения друг к другу они не имеют. А зачем -- уму непостижимо.
(Да, и, разумеется -- снова точка.)

[zoo]

ewert в сообщении #145998 писал(а):

zoo писал(а):
Пусть $\Omega$ -- огран. область с хорошей границей.
А $H^1_0(\Omega)$ -- подпространство в $H^1(\Omega)$ состоящее из функций с нулевым следом. Значит по-Вашему выходит, что $(H^1_0(\Omega))^*=H^{-1}(\Omega)$ "это просто оно само" т.е. $H^1_0(\Omega)$ и $H^{-1}(\Omega)$ одно и тоже. Жалко, вот [Adams, Sobolev Spaces] думает, что $H^{-1}(\Omega)$ состоит из обобщенных функций среди которых есть функции не имеющие суммируемой плотности.

В-ка-кой-мет-ри-ке?!

А причем здесь метрика? Вы же говорите, что $H^{-1}(\Omega)$ и $H^1_0(\Omega)$ это одно и тоже.

ewert в сообщении #145985 писал(а):

Если подпространство -- гильбертова пространства, то сопряжённое к нему есть просто его замыкание; в данном случае -- просто оно само. Это во-первых.

Это чьи слова?

ewert в сообщении #145998 писал(а):

При этом область определения соответствующего оператора (в случае лапласиана) не имеет никакого отношения к $H^1$.

Цитирую: Taylor Partial Differential Equations, vol 1 p. 303: $\Delta: H^1_0(\Omega)\to H^{-1}(\Omega)$
Хотите дальше свою науку изобретать -- изобретайте.

[ewert]

так и хочется ругнуться по поводу каш в головах, но я, пожалуй, воздержусь. Вы не возражаете?

[*DashkA*]

ewert
zoo
Здравствуйте, еще раз! Этот оператор рассматривается с точки зрения физика. Конечно, такие граничные условия не совсем реализуемы, но они лучше чем чисто периодические условия. Мой вопрос в каком пространстве и с каким скалярным произведением лучше задать этот оператор, чтобы все было корректно с точки зрения математики. Пыталась ответить сама, но теперь каша полная в голове. Я склоняюсь к такой формулировке:

Для начала, рассмотрим оператор \Delta в гильбертовом пространстве H^1 с областью определения V\cap H^2, где V множество
$ \{f({ x,y,z})\in H^1(V)\; : f\big|_{x=-a} = f\big|_{x=a} ,\quad f\big|_{y=-a} = f\big|_{y=a} ,\quad f\big|_{z=-a} = f\big|_{z=a}=0 ,\quad \frac{\partial f}{\partial x} \big |_{x=-a} = \frac{\partial f}{\partial x} \big |_{x=a} ,\quad \frac{\partial f}{\partial y} \big |_{y=-a} = \frac{\partial f}{\partial y} \big |_{y=a} \} $
тут требуем равенство производных по x, \;y на границе, т.к. рассматривается периодичный случай на всем \mathbb{R}^2.

При такой области определения ядро Ker\;\Delta=0 и поэтому существует обратный оператор \Delta^{-1}. А вот откуда он и куда действует? И что будет областью определения разности таких операторов L =\Delta-\Delta^{-1} и в каком гильбертовом пространстве следует искать сопряженный?

[ewert]

хм, это что-то новенькое, теперь граничные условия периодичны в точном смысле, ну да ладно.

Однако: почему та дельта рассматривается в аш-один, а не в эль-два? Это неестественно. Т.е. формально-то, конешно, можно рассмотреть всё во всём, но самосопряжённости (или хоть симметричности) ужо не выйдет. ПМСМ.

[*DashkA*]

ewert
как я поняла, не имеет смысла рассматривать оператор в эль-два из-за того, что граничные условия будут заданы на мере нуль.

[ewert]

нет, Вы неправильно поняли (возможно, из-за моего пижонства).

Дело в том, что оператор Лапласа по замыслу симметричен (ну и потом с соотв. оговорками самосопряжён). С вытекающими отсюда симпатичными последствиями.

Но -- только в пространстве эль-два. Потом надо будет устанавливать, при каких именно граничных условиях (с расширением на соболевские пр-ва, ессно) он будет именно самосопряжён, а не просто симметричен.

Если же в качестве исходного пр-ва брать соболевское, то никакой симпатии и не выйдет.

[*DashkA*]

ewert
Так а что делать например с задачей на собственные функции? В пространстве эль-два все функции на мере нуль отождествлены. Получается, что на граничные условия наплевать

[ewert]

нет, конечно.

Оператор действует в пространстве эль-два. А на какой области он определён -- это уж совсем другой вопрос. (Ибо он не ограничен, и на всём пр-ве задан быть уж никак не может.)

Изначально его можно определить на множестве достаточно гладких функций (ну пусть даже бесконечно гладких). Тогда его св-ва очень сильно зависят от того, какие гр. усл. к этой области опр. пришпандориваются.

Периодические граничные условия (в полном объёме -- не только на саму функцию, но и на её производные) гарантируют его симметричность. А дальше, замыкая оператор с этими граничными условиями, мы выходим на самосопряжённый оператор. И в ограниченной области у него есть полная ортонормированная система собственных функций.

А вот если граничных условий недостаточно, то сопряжённый к нему оператор окажется существенно Уже, чем исходный. Грубо говоря: чем меньше граничных условий для исходного оператора -- тем больше этих условий мы вынуждены ставить для сопряжённого.
И, соотв, ни о какой даже симметричности не может быть и речи.

----------------------------------------------------------------------------------------
Опять какое-то занудство у меня вышло; надеюсь лишь, что Вам всё же удастся извлечь из этого полезную информацию.

[nckg]

*DashkA* писал(а):

как я поняла, не имеет смысла рассматривать оператор в эль-два из-за того, что граничные условия будут заданы на мере нуль.

Давайте разберёмся, кто есть кто.
1) чтобы говорить о (само)сопряжённости, нужно ввести скалярное произведение.

ewert писал(а):

Однако: почему та дельта рассматривается в аш-один, а не в эль-два? Это неестественно. Т.е. формально-то, конешно, можно рассмотреть всё во всём, но самосопряжённости (или хоть симметричности) ужо не выйдет.

Т.е. нужно рассмотривать скалярное произведение $L_2$.
Тогда мы должны рассматривать операторы, которые действуют из $L_2$ в $L_2$.
Но отсюда ещё не следует, что область определения оператора должна совпадать с $L_2$:

ewert писал(а):

Оператор действует в пространстве эль-два. А на какой области он определён -- это уж совсем другой вопрос. (Ибо он не ограничен, и на всём пр-ве задан быть уж никак не может.)

, поэтому

2) уточняем область определения $\Delta$ - пусть это будет $V=H^2\subset L_2$ + указанные граничные условия.

3) и 4): остаётся разобраться с $\Delta^*$ и $\Delta^{-1}$