Об одном симметричном случайном блуждании

[vicvolf]

Недавно написал в одной теме:

vicvolf в сообщении #1472347 писал(а):

При определенных предположениях функцию Мертенса можно представить, как симметричное случайное блуждание. На основании теоремы Хинчина для симметричного случайного блуждания выполняется закон повторного логарифма, т.е. с вероятностью равной 1 (почти всюду) асимптотика функции Мертенса - $M(n)=O({n^{1/2}(\log\log(n)})^{1/2})$

А сейчас подумал - попытаюсь это доказать. Пожалуйста, укажите на ошибки.


Утверждение

Функцию Мертенса на интервале натурального ряда $[1,n_0]$ можно представить, как симметричное случайное блуждание, где $n_0$ - точки последовательность A028442 в OEIS.


Доказательство

Сначала о вероятностном пространстве:

RIP в сообщении #1256452 писал(а):

Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$.

Таким образом, на данном вероятностном пространстве функцию Мертенса, как функцию натурального аргумента, можно рассматривать как случайную величину.

Теперь пусть на интервале натурального ряда $[1,n]$ имеется: $k_1$ натуральных чисел, имеющих четное число простых делителей 1-ой степени, $k_2$ натуральных чисел, имеющих нечетное число простых делителей 1-ой степени и $n_3=n-k_1-k_2$ натуральных чисел не свободных от квадратов.

Обозначим соответствующие вероятности: $\nu_1=k_1/n,\nu_2=k_2/n,\nu_3=k_3/n=1-\nu_1-\nu_2$.

Тогда для функции Мертенса выполняется:

$M(n)=M(n-1)+1$ с вероятностью $\nu_1$,

$M(n)=M(n-1)-1$ с вероятностью $\nu_2$ и

$M(n)=M(n-1)$ с вероятностью $\nu_3$.

Далее я буду руководствоваться определением одномерного (симетричного) случайного блуждания через марковскую цепь (см. на стр 40-42 https://scask.ru/o_book_otsp.php?id=15).

На основании данного определения и сказанного выше функция Мертенса является случайным блужданием.

Для функции Мертенса, с учетом принятых обозначений, справедливо:

$M(n)=k_1-k_2=n \nu_1-n \nu_2=n(\nu_1-\nu_2)$.

На основании полученной формулы при $n=n_0$ выполняется:

$M(n_0)=n_0(\nu_1-\nu_2)=0$.

Так как $n_0$ не равно нулю, то из этого вытекает равенство вероятностей $\nu_1=\nu_2$.

На основании определения на стр 42 указанной выше ссылки, функция Мертенса на интервале $[1,n_0]$, где $n_0$ - точки последовательность A028442 в OEIS, представляет из себя симметричное случайное блуждание ч.т.д.

[alisa-lebovski]

Случайные блуждания и марковские цепи предполагают, что на каждом шагу происходят случайные события, не зависящие от прошлого. Вы делите натуральные числа на три категории, в соответствии с которыми прибавляете плюс или минус единицу или ноль. Почему можно утверждать, что это происходит каждый раз независимым образом (в каком-либо смысле)? Если число $n$ относится к известной категории, почему можно утверждать, что $n+1$ относится к любой из трех категорий независимо от него?

Допустим, мы прибавляем $0,+1,-1$ в зависимости от того, имеет ли очередное число остаток от деления на $3$, равный $0,1,2$. Будет ли это симметричным случайным блужданием, по Вашей логике?

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1477701 писал(а):

Случайные блуждания и марковские цепи предполагают, что на каждом шагу происходят случайные события, не зависящие от прошлого.

Функция Мертенса удовлетворяет определению цепи Маркова и не зависит от прошлого (выполняется свойство "марковости").

Одномерное случайное блуждание представляет из себя цепь Маркова, пространство состояний которой состоит из конечного или бесконечного множества целых чисел, если частица находится в каком-то состоянии, то на следующем шаге она может перейти только в соседние состояния, либо остаться в этом.

Функция Мертенса полностью этому соответствует:

$M(n)=M(n-1)+1$ с вероятностью $\nu_1$,

$M(n)=M(n-1)-1$ с вероятностью $\nu_2$ и

$M(n)=M(n-1)$ с вероятностью $\nu_3$.

Цитата:

Вы делите натуральные числа на три категории, в соответствии с которыми прибавляете плюс или минус единицу или ноль. Почему можно утверждать, что это происходит каждый раз независимым образом (в каком-либо смысле)? Если число $n$ относится к известной категории, почему можно утверждать, что $n+1$ относится к любой из трех категорий независимо от него?

Цепь Маркова включает зависимые события, поэтому определение случайного блуждания, которое я дал выше, не включает требование независимости.

[alisa-lebovski]

К сожалению, Вы не понимаете, что такое цепи Маркова, случайные блуждания и независимость.

Попробуйте ответить на второй вопрос:

Цитата:

Допустим, мы прибавляем $0,+1,-1$ в зависимости от того, имеет ли очередное число остаток от деления на $3$, равный $0,1,2$. Будет ли это симметричным случайным блужданием, по Вашей логике?

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1477701 писал(а):

Допустим, мы прибавляем $0,+1,-1$ в зависимости от того, имеет ли очередное число остаток от деления на $3$, равный $0,1,2$. Будет ли это симметричным случайным блужданием, по Вашей логике?

Если очередное число выбирается случайным образом и вероятности получения остатков от деления 1 и 2 равны, то симметричное.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1477722 писал(а):

Если очередное число выбирается случайным образом

А в вашей задаче следующее число выбирается случайным образом?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1477722 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1477701 писал(а):

Допустим, мы прибавляем $0,+1,-1$ в зависимости от того, имеет ли очередное число остаток от деления на $3$, равный $0,1,2$. Будет ли это симметричным случайным блужданием, по Вашей логике?

Если очередное число выбирается случайным образом и вероятности получения остатков от деления 1 и 2 равны, то симметричное.

Конечно. Но в Вашей задаче речь идет просто о последовательных числах, а не случайных. Чтобы совсем было ясно, я спрашиваю, например, о функции

$$f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\frac{2\pi k}{3}\right)$$

на отрезках $[1,n_0]$, где $n_0$ кратно $3$. По-Вашему, она представляет собой симметричное случайное блуждание? В чем разница с функцией Мертенса?

[alisa-lebovski]

И второе замечание, более формальное. Вы сначала пишете, что функцию на некотором отрезке натуральных чисел можно считать за случайную величину. Да, если эти числа принять за элементарные исходы. Например, при бросании игрального кубика, числа от 1 до 6. Но дальше Вы пишете про цепи Маркова и случайные блуждания. Это уже не случайные величины, а случайные процессы. Случайный процесс - это функция двух аргументов: элементарного исхода и времени. Вы же теперь переходите к рассмотрению аргумента функции как времени. Элементарные исходы при этом пропадают, случайности больше нет.

[vicvolf]

Someone
alisa-lebovski
Большое спасибо! Я понимаю Ваши сомнения - арифметическая функция вполне детерминированная величина. Согласен полностью. Однако в любой книге по вероятностной теорией чисел сказано, что любую арифметическую функцию на начальном отрезке натурального ряда на указанном выше вероятностном пространстве, можно рассматривать, как случайную величину.

Теперь в отношении примеров.

alisa-lebovski в сообщении #1477701 писал(а):

Допустим, мы прибавляем $0,+1,-1$ в зависимости от того, имеет ли очередное число остаток от деления на $3$, равный $0,1,2$. Будет ли это симметричным случайным блужданием, по Вашей логике?

Если выбор производить последовательных чисел натурального ряда, то не будет, так как известно с вероятностью равной 1, что за натуральным числом с остатком 0 по модулю 3 следует натуральное число с остатком 1, потом 2 и опять 0 и.т.д. повторяется. Аналогично и в этом примере:

alisa-lebovski в сообщении #1477729 писал(а):

например, о функции

$$f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\frac{2\pi k}{3}\right)$$

на отрезках $[1,n_0]$, где $n_0$ кратно $3$. По-Вашему, она представляет собой симметричное случайное блуждание? В чем разница с функцией Мертенса?

Кроме того, данная арифметическая функция при некоторых $n$ принимает не целые значения, что противоречит определению случайного блуждания.

В отношении функции Мертенса - при выборе следующего натурального числа нам не известно будет ли оно иметь четное или нечетное число простых делителей первой степени или вообще не свободное от квадратов (переходные вероятности меньше 1).

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1477802 писал(а):

Однако в любой книге по вероятностной теорией чисел сказано ...

Перечислите, пожалуйста, все книги по вероятностной теории чисел, которые Вы прочитали.

[alisa-lebovski]

Цитата:

Однако в любой книге по вероятностной теорией чисел сказано, что любую арифметическую функцию на начальном отрезке натурального ряда на указанном выше вероятностном пространстве, можно рассматривать, как случайную величину.

Но не думаю, что там сказано, что ее можно рассматривать как случайный процесс. Это другое дело.

Цитата:

Кроме того, данная арифметическая функция при некоторых $n$ принимает не целые значения, что противоречит определению случайного блуждания.

Нет, это как раз та функция, которая реализует прибавление в зависимости от остатков, о котором я писала выше. И она имеет такую же структуру, как функция Мертенса - сумма каких-то определенных функций натуральных чисел от $1$ до $n$.

Цитата:

В отношении функции Мертенса - при выборе следующего натурального числа нам не известно будет ли оно иметь четное или нечетное число простых делителей первой степени или вообще не свободное от квадратов (переходные вероятности меньше 1).

Что значит - не известно? Кому не известно? Мне, например, не известно значение 100-го знака в записи "пи". Но это не делает его случайным. А саму запись не делает цепью Маркова.

В случайном блуждании на каждом шагу прибавляется $-1,0,+1$ независимо от того, что прибавлялось на предыдущих шагах, в этом и состоит здесь независимость от прошлого (марковость). Раз Вы используете вместо вероятностей частоты (доли чисел, удовлетворяющих какому-то условию, от их общего числа), надо как минимум ввести условные вероятности (условные частоты), и проверить независимость хотя бы пар последовательных значений функции Мебиуса с этой точки зрения (если эта независимость вообще есть). То есть что после $-1,0,+1$ идут $-1,0,+1$ с теми же вероятностями, как если мы не знаем, что шло раньше.

-- Пт авг 07, 2020 12:24:12 --

А впрочем, здесь возможно такое рассуждение. Как известно, функция Мебиуса мультипликативна: для двух взаимно простых чисел $a, b$ верно $\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)$. Таким образом, для любого составного $n$ значение функции Мебиуса полностью определено ее прошлыми значениями, так что случайности и независимости от прошлого нет. И для простых $n$ ее значение известно. В общем, все известно, как и в случае моей функции известны значения синуса.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1477803 писал(а):

Перечислите, пожалуйста, все книги по вероятностной теории чисел, которые Вы прочитали.

Именно с таким названием книг немного, так как направление в математике сформировалось сравнительно недавно. Это А.Г. Постников "Вероятностная теория чисел" и курс лекций с таким же названием https://forany.xyz/a-538. Монография, о которой вы уже знаете Кубилюс Й. "Вероятностные методы в теории чисел". Кроме того статьи и монографии авторов, которые не имели в точности такое название, но использовали методы теории вероятностей в теории чисел. Это в первую очередь Харди и Литтлвуд, которые использовали вероятностные методы к аддитивным задачам - Вон Р. "Метод Харди-Литтлвуда", так и к теории простых чисел - Гипотезы Харди-Литтлвуда и одноименная вероятностная модель простых чисел. Вероятностная модель простых чисел Крамера и одноименная гипотеза - Cramér, Harald (1936), On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers, Acta Arithmetica Т. 2: 23–46 Архивная копия от 23 июля 2018 на Wayback Machine. Granville, Andrew (1995), Harald Cramér and the distribution of prime numbers, Scandinavian Actuarial Journal Т. 1: 12–28. А. Я. Хинчин "Три жемчужины теории чисел". Монографий немного, больше статей. Недавно здесь разбирал статью "Large prime gaps and probalistic models". Буду благодарен, если кто-то укажет другие современные монографии на эту тему.

[alisa-lebovski]

Кстати, если бы прибавление функции Мебиуса можно было считать симметричным относительно нуля, это было бы верно при ее прибавлении с любыми коэффициентами, но тогда не получалась бы известная формула

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)},$$

а получался бы там ноль.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1477808 писал(а):

Цитата:

Однако в любой книге по вероятностной теорией чисел сказано, что любую арифметическую функцию на начальном отрезке натурального ряда на указанном выше вероятностном пространстве, можно рассматривать, как случайную величину.

Но не думаю, что там сказано, что ее можно рассматривать как случайный процесс. Это другое дело.

Конечно. Это нужно доказать, что я и пытаюсь сделать.

alisa-lebovski в сообщении #1477872 писал(а):

Кстати, если бы прибавление функции Мебиуса можно было считать симметричным относительно нуля, это было бы верно при ее прибавлении с любыми коэффициентами, но тогда не получалась бы известная формула

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)},$$

а получался бы там ноль.

Здесь надо не функцию Мебиуса, а усеченную функцию Мебиуса.

[alisa-lebovski]

Цитата:

Это нужно доказать, что я и пытаюсь сделать.

Пока Ваше доказательство для функции Мертенса проходит и для моей функции, а значит, неверно. Ну нельзя доказать то, чего нет. Иначе кто-нибудь из авторов перечисленных книг, которые Вы читали, давно бы уже это сделали.

Цитата:

Здесь надо не функцию Мебиуса, а усеченную функцию Мебиуса.

Но асимптотику функции Мертенса Вы хотите на бесконечности.