принцип наименьшего действия

[granit201z]

Здравствуйте. Читаю учебник "Саскинд, Грабовски Теоретический минимум". До лекции 6 все более менее (с натяжкой, конечно) понятно. Но то ли уже от переутомления, то ли от слабости "процессора" я падаю с первых же строк этой лекции. Ничего не остается, кроме как начать подробно цитировать учебник и задавать наверняка глупые вопросы:

Цитата:

Мы начнем с того, что сделаем одно общее замечание об основной задаче классической механики, а именно о задаче определения траекторий (или орбит) систем по их уравнениям движения. Обычно при постановке этой задачи указывается три вещи: массы частиц, совокупность сил $F(\left\lbrace x\right\rbrace)$ (а еще лучше формула для потенциальной энергии) и начальные условия. Система стартует с определенными значениями координат и скоростей, а затем движется под влиянием заданных сил в соответствии со вторым законом Ньютона. Если в целом имеется $N$ координат $(x_1, x_2, ..., x_N)$, то начальные условия состоят в задании $2N$ положений и скоростей. Например, можно задать положения $\left\lbrace x \right\rbrace$ и скорости ${\left\lbrace\dot{x}\right\rbrace}$ в начальный момент $t_0$, а затем решить уравнения, чтобы найти, какими они станут в момент $t_1$. По ходу дела мы обычно полностью определяем траекторию между $t_0$ и $t_1$ (рис. 1).

Но эту задачу классической механики можно сформулировать и другим способом, также требующим задания $2N$ элементов информации. Вместо задания начальных положений и скоростей можно указать начальные и конечные положения. Это можно представить следующим образом. Допустим, бейсболист готовится подать мяч (из точки $x_0$ в момент $t_0$) и хочет, чтобы тот попал на вторую базу $(x_1)$ ровно через 1,5 секунды $(t_1)$. Как должен двигаться мяч между базами? Часть задачи в этом случае состоит в том, чтобы определить начальную скорость мяча. При такой постановке задачи скорость не входит в состав начальных данных, а является частью решения.
Чтобы прояснить этот момент, нарисуем пространственно-временную диаграмму (рис. 2). По горизонтальной оси откладывается положение частицы (или мяча), а по вертикальной — время. Начало и конец траектории — это пара точек на данной пространственно-временной диаграмме, а сама траектория — кривая, соединяющая эти точки.

Два варианта постановки задачи о движении аналогичны двум способам задания прямой в пространстве. В одном случае мы можем попросить построить прямую, идущую из заданной точки в определенном направлении. Это аналог траектории, заданной начальным положением и скоростью. Или можно попросить провести прямую, соединяющую две конкретные точки. Это уже аналог поиска траектории, начинающейся в одной точке и заканчивающейся в другой спустя заданное время. Во второй форме задача похожа на вопрос о том, как нацелить прямую из начальной точки, так, чтобы она прошла через конечную. Ответ: надо найти кратчайший путь между точками. Для задачи классической механики ответ состоит в том, чтобы найти путь со стационарным значением действия.

первый вопрос к этому тексту. Почему рисунок 2 называется "траектория мяча"? Ведь насколько я понимаю, мяч движется только по $Ox$, а не в плоскости $tOx$, а следовательно и траектория у него должна быть прямой линией?
второй вопрос - что значит путь со стационарным значением действия?
там, конечно, дальше по тексту приводится объяснение, но я не смог его понять. я даже не совсем понял, что автор подразумевает под "действием". как-то он связывает его со всей траекторией в целом и говорит, что это функция от функции (некий функционал, стационаризацией (минимизацией) которого занимается вариационное исчисление

[Eule_A]

granit201z в сообщении #1477736 писал(а):

Почему рисунок 2 называется "траектория мяча"?

Ну, наверное, лучше это было бы назвать графиком закона движения. Терминология - не больше.

granit201z в сообщении #1477736 писал(а):

я даже не совсем понял, что автор подразумевает под "действием"

Действие - это формально составленная величина такая, которая, действительно, является функционалом. Т.е. функции - закону движения - сопоставляется число. В принципе наименьшего действия речь идёт о том, что из всех траекторий реализуется та, для которой действие экстремально (точная формулировка - см. в учебниках, как говорится). Это и имеется в виду под стационарностью. Дифференциальное исчисление наверняка ведь доводилось изучать? Там для функций говорят о стационарных точках - где производная равна нулю. Здесь не производная, а вариация действия обращается в нуль. Прямая аналогия.
Возможно, имеет смысл прочитать несколько первых параграфов любого курса вариационного исчисления. Например, Эльсгольца. До уравнений Эйлера.

[granit201z]

Eule_A в сообщении #1477739 писал(а):

Возможно, имеет смысл прочитать несколько первых параграфов любого курса вариационного исчисления. Например, Эльсгольца. До уравнений Эйлера.

наверное, это единственный способ, чтобы понять математику процесса. но я бы очень хотел сперва понять физический смысл.

в моем "первом приближении" (почерпнутом из этого же учебника, но вероятно неверно истолкованном) находится вот тело (в некотором поле, пусть, гравитационном) в некоторой точке, т.е. имеет некие координаты. В этой точке по уравнениям поля оно будет испытывать действие какой-то силы, а соответственно будет и конкретное ускорение и скорость, связанные с этой точкой. И теоретически через короткий промежуток времени, тело должно бы оказаться в следующей точке. Но стоит телу убраться из той первой точки и эта траекория (рассчитанная для этой первой точки станет недействительной, т.к. уже будет чуть другая сила, вызывающая чуть другие ускорения и скорости). я не уверен, вообще, что мысль в правильном направлении. подскажите

-- 07.08.2020, 00:55 --

и еще все усугубляется тем, что тот объект, в чьем поле находится рассматриваемое тело сам испытывает действие этого первого тела и смещается под ним, что делает еще более недействительной ту первоначально рассчитанную (на нулевой момент времени) траекторию?

или эти размышления совсем из другой оперы?

[Eule_A]

granit201z в сообщении #1477745 писал(а):

наверное, это единственный способ, чтобы понять математику процесса

Однозначно. А главное, это не настолько сложно.

В остальном давайте, что ли, формулы напишем какие-то... Чуть-чуть.
С формальной точки зрения. Когда Вы говорите о движении в терминах полей, то, видимо, предполагаете заданной некоторую потенциальную энергию. Собственно, начинать нужно именно с этого случая. В таком случае можно написать уравнение движения - второй закон Ньютона фактически. К нему прилагаются начальные условия - благодаря этим условиям (при некоторых математических условиях) можно единственным образом восстановить траекторию и закон движения материальной точки. Тут же Вы не говорите, что "в следующий момент" тело в другой точке - и силы другие.
В принципе наименьшего действия подход несколько другой. Вы тоже задаётесь потенциальной энергией, которая содержит информацию о силах, действующих на частицу - и пишете функцию Лагранжа. Для одной частицы это

$$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-U(x).$$

Видите, вошёл закон движения $x(t)$. Мы его не знаем. Дальше пишется действие - интеграл функции Лагранжа по времени. Он представляет собой число. Но число это зависит от того, какую функцию $x(t)$ Вы возьмёте. Принцип наименьшего действия утверждает, что нужно вычислить вариацию действия и приравнять её к нулю. В результате этой процедуры Вы придёте к уравнению, которое "неожиданно" окажется обычным вторым законом Ньютона.

Т.е. исторически изначально был второй закон Ньютона. А пока оказалось, что вместо него можно ввести аксиоматически другой основной принцип, который хорошо стыкуется с принципами из других областей. Например, обычно в этом контексте вспоминают принцип распространения света Ферма. Единообразие просматривается. Потом оказалось, что и в механике вариационных принципов, скажем так, не один - для разных постановок задач разные формулировки оказываются удобнее. Иными словами, вариационные принципы по своей сути формальны. Но они работают. Тем и хороши.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Вот так предложишь нормальный учебник по теормеху почитать, скажут фу это не физика, это математика.

[Eule_A]

granit201z в сообщении #1477745 писал(а):

или эти размышления совсем из другой оперы?

Это уже задача двух тел. Если известно, что взаимодействие между ними описывается также в терминах потенциальной энергии, то и это решаемо. Просто источник поля не внешний, и в функции Лагранжа появится слагаемое, относящееся ко второй частице. Уравнений станет больше. Только и всего.

[Pphantom]

granit201z, а вы не хотели бы почитать нормальный учебник? Вы уже три с лишним года плодите на форуме бессмысленные темы, содержание которых за крайне редким исключением аналогично такому: "изучал математику три года по учебнику для второго класса, почти всю таблицу умножения выучил, а теперь нашел другую книгу по математике и никак не пойму, на что надо умножать $\oint$".

P.S. Желающим просвещать - я не шучу. Ни о каких учебниках по вариационному исчислению тут и речи быть не может, сначала надо программу средней школы освоить.

[Eule_A]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1477747 писал(а):

Вот так предложишь нормальный учебник по теормеху почитать, скажут фу это не физика, это математика.

То, что я говорю, покрывается старыми-престарыми курсами механики или началом первого тома Ландау. Кажется, упоминание этих книг вызовет на этот раз у Вас аналогичную реакцию

Pphantom в сообщении #1477749 писал(а):

Ни о каких учебниках по вариационному исчислению тут и речи быть не может, сначала надо программу средней школы освоить.

Ну что ж, ясно.

[granit201z]

Pphantom в сообщении #1477749 писал(а):

granit201z, а вы не хотели бы почитать нормальный учебник?

да куда уж проще. там до 6 лекции по крайней мере разжевано все очень подробно. а дальше - затык.

[Pphantom]

granit201z в сообщении #1477751 писал(а):

да куда уж проще.

Не проще - последовательнее. Это популярная книга (и не лучшая), ее задача - не объяснить, а привлечь внимание.

[Утундрий]

granit201z в сообщении #1477745 писал(а):

наверное, это единственный способ, чтобы понять математику процесса. но я бы очень хотел сперва понять физический смысл.

Что Вы понимаете под "физическим смыслом"?

[granit201z]

Утундрий в сообщении #1477754 писал(а):

Что Вы понимаете под "физическим смыслом"?

ну это когда раскрыты соответствия между математическими объектами и объектами и событиями физического мира.

-- 07.08.2020, 07:20 --

Pphantom в сообщении #1477753 писал(а):

Это популярная книга (и не лучшая)

Посоветуйте ту, которая - лучшая, если не сложно.

[physicsworks]

Эти лекции вообще-то рекомендуется читать параллельно с прослушиванием соответствующего лекционного видео курса. Это так, между прочим.

[granit201z]

Pphantom в сообщении #1477749 писал(а):

granit201z, а вы не хотели бы почитать нормальный учебник? Вы уже три с лишним года плодите на форуме бессмысленные темы, содержание которых за крайне редким исключением аналогично такому: "изучал математику три года по учебнику для второго класса, почти всю таблицу умножения выучил, а теперь нашел другую книгу по математике и никак не пойму, на что надо умножать $\oint$".

P.S. Желающим просвещать - я не шучу. Ни о каких учебниках по вариационному исчислению тут и речи быть не может, сначала надо программу средней школы освоить.

Чтобы не гадать об уровне моей подготовки и не выдвигать довольно обидные резюме - сам освещу свои навыки:
Уровень мой на сегодняшний день следующий:
Мат. Анализ:
-понимаю что такое производные одной и нескольких переменных
-понимаю как решаются системы уравнений минимизацией функции ошибки
-понимаю что такое интеграл, но путаюсь в двойных, тройных и т д.
-имею самые общие представления о диф. уравнениях (понимаю что это, но решать не умею)
-не знаком с рядами
Векторная, алгебра и аналитическая геометрия:
-чувствую себя в них свободно
Линейная алгебра:
-знаю основные операции с матрицами и могу решать системы линейных уравнений.
Физика:
-ушёл не дальше школьных учебников Ландсберга.

Хочу разбираться в квантовой физике, поэтому решил, что сперва необходимо разобраться в классической теоретической механике. Но испытываю трудности. И буду признателен за ссылки на учебники, расчитанными на такой багаж знаний

[Утундрий]

granit201z в сообщении #1477775 писал(а):

соответствия между математическими объектами и объектами и событиями физического мира

Соответствие здесь следующее: на множестве всех мыслимых траекторий определяется функционал. Физически реализуются только стационарные точки этого функционала. (Вообще-то, это не так, но пока можете считать, что так.)

granit201z в сообщении #1477813 писал(а):

Хочу разбираться в квантовой физике

С какой целью?