Операция и алгебраическая операция

[VMRacer]

Пусть структура это некоторое подмножество действительных чисел, для которых определена арифметическая операция.
Для таких структур можно определить изоморфизм.
Что настораживает: нигде в литературе не встречал такие элементарные конструкции.
Принято рассматривать структуры с внутренними бинарными операциями или более общие конструкции.
Определение структуры необходимо как элемент математической модели.
Интересно будет узнать мнение алгебраиста об определении структуры.

[kotenok gav]

Структура - просто несколько множеств с несколькими операциями-функциями.

[VMRacer]

Допустим есть множество из действительных чисел 1, 2, 3 и для упорядоченных пар определена операция-функция сложение.
Правильно ли я понял?

[svv]

Пусть $A=\{1,2,3\}$, и мы определяем на этом множестве бинарную операцию сложения.
Неприятность: чему равно $2+2$? Если $4$, то, выходит, множество $A$ незамкнуто относительно сложения — сумма двух элементов $A$ не всегда принадлежит $A$. Какой смысл тогда имеет сумма $(2+2)+1$? А $2+(2+1)$?
Нет нуля, нет противоположного элемента $(-a)$. «Новое» сложение теряет много обычных свойств, которые и делают сложение сложением. Можно, конечно, избежать этих неприятностей, если расширить $A$ до множества всех целых чисел и определить для них новую бинарную операцию, как обычное сложение.

А вот пример удачного определения. Пусть $M=\{0,1,2\}$. Определим сложение так:
$\begin{array}{rrr}0+0=0&0+1=1&0+2=2\\1+0=1&1+1=2&1+2=0\\2+0=2&2+1=0&2+2=1\end{array}$
Прежде всего, сумма двух элементов $M$ также является элементом $M$.
Можете проверить, что выполняются обычные свойства сложения:
Коммутативность: $a+b=b+a$.
Ассоциативность: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
Существует нейтральный элемент $0$, такой, что $a+0=a$.
Для каждого $a$ существует противоположный элемент $b=-a$ такой, что $a+b=0$:
$-0=0\quad -1=2 \quad -2=1$
Всё это даёт основания новую операцию называть сложением.

[VMRacer]

В этом вся и проблема. Операция определена для все пар элементов множества и замкнута.
Скажем, операция сложения определена для всех действительных чисел.
Но при построении модели никто не рассматривает все действительные числа.
У меня A + B должно равняться С. Пока я решил развить Вашу идею примерно так:

Используя операцию сложения определим функцию.

Поскольку изоморфизм сохраняет операции структур,
то можно определить отображение инвариантное к выбору структуры.

[Geen]

VMRacer в сообщении #1477064 писал(а):

определена арифметическая операция.

А что это такое?

VMRacer в сообщении #1477064 писал(а):

такие элементарные конструкции.

Ну, вообще говоря, подмножество действительных чисел это очень не элементарно. А для всего остального есть группа.

VMRacer в сообщении #1477064 писал(а):

Определение структуры необходимо как элемент математической модели.

Какой модели?

[VMRacer]

Арифметическая операция - в данном случае это операция сложение на множестве действительных чисел.
Модель, например, С равно A плюс B.
A, B, С это конечные множества действительных чисел.
и где тут группа?

[svv]

Вы пока не объяснили, как именно Вы определяете сложение на конечных множествах. Например, для множества $\{1,2,3\}$ я не понимаю, чему у Вас равно $2+3$ или даже $1+1$, какой элемент играет роль нуля и так далее.

[VMRacer]

Я определяю сложение на конечных множества как операцию сложения действительных чисел.
2+3 равно 5, 1+1 равно 2.

[Geen]

VMRacer в сообщении #1477243 писал(а):

Модель, например, С равно A плюс B.
A, B, С это конечные множества действительных чисел.

Извините, я не понимаю, что такое "модель, например".
И не знаю как определены сложения множеств.

[VMRacer]

Более точно. Модель это операция сложения определенная на конечном множестве упорядоченных пар действительных чисел.
Например 2+3 равно 5.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: неграмотность, не позволяющая изложить предмет желаний.