Пусть

, и мы определяем на этом множестве бинарную операцию сложения.
Неприятность: чему равно

? Если

, то, выходит, множество

незамкнуто относительно сложения — сумма двух элементов

не всегда принадлежит

. Какой смысл тогда имеет сумма

? А

?
Нет нуля, нет противоположного элемента

. «Новое» сложение теряет много обычных свойств, которые и делают сложение сложением. Можно, конечно, избежать этих неприятностей, если расширить

до множества всех целых чисел и определить для них новую бинарную операцию, как обычное сложение.
А вот пример удачного определения. Пусть

. Определим сложение так:

Прежде всего, сумма двух элементов

также является элементом

.
Можете проверить, что выполняются обычные свойства сложения:
Коммутативность:

.
Ассоциативность:

.
Существует нейтральный элемент

, такой, что

.
Для каждого

существует противоположный элемент

такой, что

:

Всё это даёт основания новую операцию называть сложением.