2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение31.07.2020, 17:40 


31/07/20
3
Проблема такая, написал формулу расчета, по которой подбираю коэффициент $k$, чтобы получилась необходимая сумма.
коэффициенты $a$, $S$, $n$ известны.
Иногда приходится долго подбирать коэфф. $k$, чтобы сумма получилась.

$a \cdot k^0 + a \cdot k^1 + a \cdot k^2 + ... + a \cdot k^{(n-1)} = S$

Практическое применение:
Допустим я хочу разделить число $S$ на $n$-долей, чтобы каждая следующая доля была больше предыдущей в $k$-раз.
Дано: число долей $n$, величину наименьшей(первой) доли $a$, и сумма всех долей $S$
Найти: $k$

Для примера можно взять $n = 10$, $a = 5$, $S = 100$, найти $k$
Но мне нужна формула выражающая $k$ из $a$, $S$, $n$

Благодарю за понимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение31.07.2020, 17:48 


21/05/16
3366
Аделаида
Если вы свернете это в формулу суммы геометрической прогрессии, вы увидите, что это эквивалентно нахождению корня полинома энной степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение31.07.2020, 18:01 


31/07/20
3
Хорошо, если я правильно вас понял, то

$a \cdot (1 - k^n) / (1 - k) = S$

Теперь, как отсюда выразить $k$, открыть скобки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение31.07.2020, 18:43 


21/05/16
3366
Аделаида
kotenok gav в сообщении #1476738 писал(а):
вы увидите, что это эквивалентно нахождению корня полинома энной степени.

А по вопросам нахождения корня уравнения через спецфункции была тема. Но попробуйте просто метод Ньютона использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение01.08.2020, 11:48 
Аватара пользователя


05/12/09
453
Думаю, можно проще, чем метод Ньютона, попробовать метод последовательных приближений, например,
$$k_{m+1}=1-\frac{a}{S}(1-k^n_m)$$
при $k_0=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение01.08.2020, 13:41 


31/07/20
3
Спасибо за помощь. Я сейчас так и считаю, постепенно изменяя коэффициент на шаг, пока погрешность не будет слишком мала.

Просто я думал, есть более простой способ по поиску коэффициента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение01.08.2020, 13:57 
Заслуженный участник


23/07/08
8248
Харьков
skrn, простите, но метод последовательных приближений — это не совсем так, как Вы сейчас вычисляете (судя по Вашему описанию). Это более продвинутый метод. Формула, приведённая alisa-lebovski, сама выбирает следующее приближение, и делает это хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение01.08.2020, 16:55 
Заслуженный участник


03/01/09
1421
москва
alisa-lebovski в сообщении #1476812 писал(а):
$$k_{m+1}=1-\frac{a}{S}(1-k^n_m)$$
при $k_0=0$.

Здесь метод последовательных приближений дает посторонний корень: $k=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет коэффициента суммы степенного ряда
Сообщение01.08.2020, 18:24 
Аватара пользователя


05/12/09
453
Извините. Не обратила внимание, что по условию $k>1$. Предложенная ранее формула работает для $0<k<1$ (при $S<an$).
А при $k>1$ ($S>an$) надо брать наоборот, т.е.
$$k_{m+1}=\left(\frac{S}{a}(k_m-1)+1\right)^{1/n}$$
с начальным условием $k_0>1$, например, $k_0=S/(an)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group