Расчет коэффициента суммы степенного ряда

[skrn]

Проблема такая, написал формулу расчета, по которой подбираю коэффициент $k$, чтобы получилась необходимая сумма.
коэффициенты $a$, $S$, $n$ известны.
Иногда приходится долго подбирать коэфф. $k$, чтобы сумма получилась.

$a \cdot k^0 + a \cdot k^1 + a \cdot k^2 + ... + a \cdot k^{(n-1)} = S$

Практическое применение:
Допустим я хочу разделить число $S$ на $n$-долей, чтобы каждая следующая доля была больше предыдущей в $k$-раз.
Дано: число долей $n$, величину наименьшей(первой) доли $a$, и сумма всех долей $S$
Найти: $k$

Для примера можно взять $n = 10$, $a = 5$, $S = 100$, найти $k$
Но мне нужна формула выражающая $k$ из $a$, $S$, $n$

Благодарю за понимание.

[kotenok gav]

Если вы свернете это в формулу суммы геометрической прогрессии, вы увидите, что это эквивалентно нахождению корня полинома энной степени.

[skrn]

Хорошо, если я правильно вас понял, то

$a \cdot (1 - k^n) / (1 - k) = S$

Теперь, как отсюда выразить $k$, открыть скобки?

[kotenok gav]

kotenok gav в сообщении #1476738 писал(а):

вы увидите, что это эквивалентно нахождению корня полинома энной степени.

А по вопросам нахождения корня уравнения через спецфункции была тема. Но попробуйте просто метод Ньютона использовать.

[alisa-lebovski]

Думаю, можно проще, чем метод Ньютона, попробовать метод последовательных приближений, например,

$$k_{m+1}=1-\frac{a}{S}(1-k^n_m)$$

при $k_0=0$.

[skrn]

Спасибо за помощь. Я сейчас так и считаю, постепенно изменяя коэффициент на шаг, пока погрешность не будет слишком мала.

Просто я думал, есть более простой способ по поиску коэффициента.

[svv]

skrn, простите, но метод последовательных приближений — это не совсем так, как Вы сейчас вычисляете (судя по Вашему описанию). Это более продвинутый метод. Формула, приведённая alisa-lebovski, сама выбирает следующее приближение, и делает это хорошо.

[mihiv]

alisa-lebovski в сообщении #1476812 писал(а):

$$k_{m+1}=1-\frac{a}{S}(1-k^n_m)$$

при $k_0=0$.

Здесь метод последовательных приближений дает посторонний корень: $k=1$.

[alisa-lebovski]

Извините. Не обратила внимание, что по условию $k>1$. Предложенная ранее формула работает для $0<k<1$ (при $S<an$).
А при $k>1$ ($S>an$) надо брать наоборот, т.е.

$$k_{m+1}=\left(\frac{S}{a}(k_m-1)+1\right)^{1/n}$$

с начальным условием $k_0>1$, например, $k_0=S/(an)$.