Эквивалентность утверждений про инъективность

[VoprosT]

В анализе Зорича в 5-ом упражнении к третьему параграфу первой главы(издание 2020, стр. 22) предлагается доказать эквивалентность следующих утверждений относительно отображения $f: X \to Y$$\,$:
а) $f$ инъективно;
b) $f^{-1}(f(A)) = A \quad \forall A \subset X$
c) $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$;
d) $f(a) \cap f(B) = \varnothing \Leftrightarrow A \cap B = \varnothing$
e) $f(A \setminus B) = f(A) \setminus f(B)$, если $B \subset A \subset X$

Я решил доказать последовательно импликации от первого к последнему и потом замкнуть e) $\Rightarrow$ a), но столкнулся с некоторыми проблемами:

1. В упражнении 3.b) доказывается $(A \ne \varnothing) \Rightarrow (f(A) \ne \varnothing)$. Правильно ли я понимаю, что верно и обратное? Потому что тогда $(A \ne \varnothing) \Leftrightarrow (f(A) \ne \varnothing)$, и с помощью этого факта я доказываю импликацию c) $\Rightarrow$ d).

2. Возникают трудности с переходом от d) к e). Если B - пусто, тогда всё очевидно вытекает из d), а если нет, то я не понимаю, как осуществить шаг.

Подскажите, как быть

[пианист]

Что прообраз не пустого множества не пуст, следует прямо из определения образа.

Возьмите в качестве $A$ множество $A \backslash B$ и примените d); видно, что при вычитании $f(B)$ мы не "зацепили" ничего лишнего.

[svv]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1476300 писал(а):

Возьмите в качестве $A$ $A \backslash B$

Иногда очень не хватает пустого слова-разделителя, единственная функция которого — отделить две соседних формулы, чтобы не сливались, типа:
Возьмите в качестве $A$ гм $A \backslash B$.
При подстановке $x=a$ дык $x^2-a^2=0$ удовлетворяется тождественно.

[Mikhail_K]

svv

(Оффтоп)

Возьмите в качестве $A$ множество $A\backslash B$.
При подстановке $x=a$ равенство $x^2-a^2=0$ удовлетворяется тождественно.
В качестве слова-разделителя вполне подходит наименование класса объектов, к которому принадлежит выражаемый второй формулой объект.

[пианист]

(Оффтоп)

svv, Mikhail_K
Спасибо, разумно

[VoprosT]

пианист в сообщении #1476300 писал(а):

Возьмите в качестве $A$ множество $A \backslash B$ и примените d); видно, что при вычитании $f(B)$ мы не "зацепили" ничего лишнего.

Из d) получаем $f(A \setminus B) \cap f(B) = \varnothing$. Как отсюда следует е)?
Чувствую,что не понимаю чего-то очевидного,но понять не могу.

[пианист]

$f(A \backslash B)$ является частью $f(A)$. Б-м очевидно, что все "лишние" точки сидят в $f(B)$; однако не очевидно, что, вырезая $f(B)$, мы не выкинем что-то, что выкидывать не следовало. Ну вот, собс-но, пустое пересечение и показывает, что таки нет, выкидываем только то, что следовало.
Как-то так.

[bot]

svv в сообщении #1476303 писал(а):

Возьмите в качестве $A$ гм $A \backslash B$

Просто возьмите множество в качестве гм.