Доказать, что существует конечный набор функций

[learning_math]

Задана бесконечная последовательность функций $ g_1, ..., g_n, ... $ определенных на числовой прямой. Докажите, что существует конечный набор функций $ f_1,...,f_N $ композициями которых можно записать любую функцию $g_k$.


Была идия выбрать несколько простых функций, например, линейную и экспоненту (комплексную?). И доказать, что из них можно бесконечными композициями построить ряд Тейлора для любой дифференциируемой функции... Правда $ g_i $ может быть недифференциируема.


Еще идея. Допустим, все функции $ g_i $ принимают целые значения от 0 до 9. Тогда запишем $ f_1 $ десятичной дробью $ f_1(x)=0.g_0(x)g_1(x)g_2(x)... $ - где на i-м месте после запятой стоит значение функции $ g_i $.
$ f_2(x)=10 \cdot x $
$ f_3(x)=x % 10 $

Тогда любую функцию $ g_i $ можно получить композицией функций $ f_1, f_2, f_3 $.

Например,
$ g_5(x)=f_3(f_2(f_2(f_2(f_2(f_2(f_1(x))))))) $

Но как теперь это обобщить? Если бы значения $ g_i $ были рациональными и функции $ g_i $ ограниченными можно было бы модифицировать данный подход.

[Null]

Существует биекция между $\mathbb{R}$ и $(a,b)$.

[learning_math]

Спасибо! Вроде разобрался.