Обоснование перевода в радианы при расчёте пределов

[Zul]

Доброго всем времени суток,

прошу помочь найти правильное решение (если моё таким не является) и/или помочь со строгим обоснованием подхода к решению для задачи ниже

Задача:
Найти значение предела

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}

в случае если единицей измерения по оси x являются градусы

Моё решение:

Вводим функцию $y=\tfrac{\pi}{180} x для перехода в радианы, и переписываем предел как $\lim\limits_{y\to 0} \frac{\sin(y)}{\tfrac{180}{\pi} y} после чего выносим за скобки $\frac{\pi}{180} и получаем $\lim\limits_{y\to 0} \frac{\pi}{180} \frac{\sin(y)}{y} и окончательный ответ $\frac{\pi}{180}

Отдельное спасибо заранее за помощь в обосновании необходимости приведения именно к радианам для вычисления пределов.

[alisa-lebovski]

Это верно, но сама постановка задачи безграмотная. Может быть, более корректно было написать
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (x^\circ)}{x}$.
Бывает синус как функция угла в геометрии, а бывает как функция от действительного числа, последнюю можно задать, например, степенным рядом или иной формулой, вообще никак с геометрией не связанной. Соответствие между ними - измерение угла в радианах.

[Otta]

Zul
А какая разница-то? Аргумент синуса бесконечно малый и совпадает со знаменателем в обоих случаях, хоть радианы, хоть градусы. Ответ один и тот же, первый замечательный предел.
Если имелось в виду что-то другое - то да, формулировать это надо иначе.

[Zul]

alisa-lebovski в сообщении #1475921 писал(а):

Это верно, но сама постановка задачи безграмотная.

Давайте попробуем вместе переформулировать. Мне кажется, что Вы правильно отметили - сложность для понимания условия именно в том, что неочевидна необходимость задания угла в радианах.

alisa-lebovski в сообщении #1475921 писал(а):

Может быть, более корректно было написать
$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin (x^\circ)}{x}$.

Прежде чем мы углубимся в понимание эквивалентна ли такая запись исходной - хотелось бы уточнить - а как это может помочь решить проблему градусов а не радиан по оси X ?

alisa-lebovski в сообщении #1475921 писал(а):

Бывает синус как функция угла в геометрии, а бывает как функция от действительного числа, последнюю можно задать, например, степенным рядом или иной формулой, вообще никак с геометрией не связанной. Соответствие между ними - измерение угла в радианах.

Вот и я в этом месте плыву ... из чего это именно необходимость "измерения угла в радианах" следует? Я как-то в детстве на этот момент внимания не обратил .. запомнил просто, что надо к радианам приводить то, что в тригонометрических функциях записано и успокоился ... а почему ?

-- 25.07.2020, 19:20 --

Otta в сообщении #1475923 писал(а):

Zul
А какая разница-то? Аргумент синуса бесконечно малый и совпадает со знаменателем в обоих случаях, хоть радианы, хоть градусы. Ответ один и тот же, первый замечательный предел.
Если имелось в виду что-то другое - то да, формулировать это надо иначе.

(задумчиво) в нынешней формулировке, как мне кажется - ответ будет именно таким, как я описал ... то-есть не 1 а $\frac{\pi}{180}$ ... выше по теме уже есть одно поддерживающее мнение, и призыв записать условие задачи более корректно (что несмоненно также интересно и достойно обсуждения). Какой Вариант предлагаете Вы ? С моей точки зрения указание наличия неких "градусов" на оси X это ввод размерности от коротой и следует избавиться переводом в радианы

[Otta]

Это на здоровье, выбирайте, что нравится. Ваша задача - Ваше решение. Вам только предложили подсказки.
Почему разные? потому что интерпретируется задача в этой постановке 4-мя способами. Я - дословно тем, который Вы привели, хоть он мне и не нравится.

[Zul]

Otta в сообщении #1475928 писал(а):

Это на здоровье, выбирайте, что нравится. Ваша задача - Ваше решение. Вам только предложили подсказки.

Так я их и стараюсь осознать.

Otta в сообщении #1475928 писал(а):

>Почему разные? потому что интерпретируется задача в этой постановке 4-мя способами. Я - дословно тем, который Вы привели, хоть он мне и не нравится.

Если не жалко - приведите пожалуйста свою интерпретацию .. я постараюсь понять, где и что сломалось и изменить. Заранее огромное спасибо

[alisa-lebovski]

Цитата:

Прежде чем мы углубимся в понимание эквивалентна ли такая запись исходной - хотелось бы уточнить - а как это может помочь решить проблему градусов а не радиан по оси X ?

В моей записи видно, что речь идет о синусе как функции угла в градусах, а количество градусов выражается числом $x$. Этот синус делится на число $x$, по которому переходим к пределу. В матанализе нет единиц измерения или размерностей по координатным осям, это скорее из физики, а есть просто числа. Но и в физике написанный Вами предел был неверным, потому что знаменатель тогда имеет размерность (градусы), а числитель нет. Радианы и градусы представляют собой единицы измерения угла, но не числа.

Цитата:

Вот и я в этом месте плыву ... из чего это именно необходимость "измерения угла в радианах" следует? Я как-то в детстве на этот момент внимания не обратил .. запомнил просто, что надо к радианам приводить то, что в тригонометрических функциях записано и успокоился ... а почему ?

Почему синус угла в радианах и синус как функция числа - одно и то же? Да, это на самом деле не очевидно. Это как-то доказывается. Это интересный отдельный вопрос.

Скажу больше. Если были бы жители мира с неевклидовой геометрией, то в их математике точно также могли бы быть синусы и косинусы как функции числа, но они не имели бы геометрического смысла, так же как для нас не имеют такого смысла гиперболические синусы и косинусы.

[Otta]

Zul
Послушайтесь предыдущего оратора, исправьте предел. Он, кстати, сколь я помню, в Бермане именно в таком виде и фигурирует. (только $x\to 0$)

[alisa-lebovski]

Otta, виновата, исправила.

[alisa-lebovski]

В школьном курсе эквивалентность "геометрического" и "аналитического" синуса, конечно, не доказывается, а постулируется. Как это доказывается, не помню. Но скорее всего, через дифференциальные уравнения.

[Zul]

alisa-lebovski в сообщении #1475921 писал(а):

Это верно, но сама постановка задачи безграмотная. Может быть, более корректно было написать
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (x^\circ)}{x}$.

Ура! Я наконец понял, и это замечательная запись, спасибо огромное и действительно позволяет передать смысл задачи .

Небольшое уточнение - я правильно понимаю, что с учётом этого уточнения решение верно и

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (x^\circ)}{x} = \frac{\pi}{180}$.

Ещё раз спасибо.

-- 26.07.2020, 00:45 --

Otta скажите пожалуйста - в приведённой выше записи все возможности для различных прочтений устранены или осталось что-то ещё, что следовало бы исправить? И решение теперь однозначно?
Спасибо

[Otta]

Zul
Все хорошо.

[Zul]

Otta в сообщении #1475923 писал(а):

Zul
А какая разница-то? Аргумент синуса бесконечно малый и совпадает со знаменателем в обоих случаях, хоть радианы, хоть градусы. Ответ один и тот же, первый замечательный предел.

У меня не получилось воссоздать формулировку задачи при которой в ответе получилось бы 1 .. возможно я неправильно читаю Ваше утверждение, и Вы не говорите о том, что такое прочтение формулировки возможно? Если оно всё-таки возможно, и есть шанс так корректно сформулировать условие, чтобы ответом стал 1 - было бы здорово это сделать (готов стараться сам, подскажите в какую сторону копать, ну или в виде исключения дайте условие, а я постараюсь его решить, получив либо 1 либо что-то другое). Заранее спасибо

[Kateyko]

Автор темы при переводе градусов в радианы делает это только в знаменателе, вводя некую функцию: $ y=\frac{pix}{180} $, а числитель оставляет "нетронутым". Если же переводить в радианную меру и в числителе, и в знаменателе, то должно получиться следующее:
Для краткости обозначим $ a=\frac{pi}{180} $ . И у нас получится: $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}=1$

[Zul]

Kateyko в сообщении #1476008 писал(а):

Автор темы при переводе градусов в радианы делает это только в знаменателе, вводя некую функцию: $ y=\frac{\pi x}{180} $, а числитель оставляет "нетронутым". Если же переводить в радианную меру и в числителе, и в знаменателе, то должно получиться следующее:
Для краткости обозначим $ a=\frac{\pi}{180} $ . И у нас получится: $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}=1$

Kateyko, спасибо за построение уточняющего вопроса. И мне действительно нужна помощь зала в ответе - является ли переход $\sin (x^\circ) = $\sin (y) корректным, или требуется умножение на коэффициент указанное Kateyko и соответственный перерасчёт предела. Заранее всем спасибо за прояснение этого момента (и, надеюсь, за помощь в однозначно читаемой записи )