Векторное поле

[Solaris86]

Пусть дан вектор $\mathbf{a}$.
Насколько мне известно, его можно задать двумя основными способами:
1) через координаты точек начала и конца: $\mathbf{a} = \lbrace x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1 \rbrace$, где $x_1,y_1,z_1$ - координаты начала вектора $\mathbf{a}$, $x_2,y_2,z_2$ - координаты конца вектора $\mathbf{a}$;
2) через проекции: $\mathbf{a} = \lbrace a_x;a_y;a_z \rbrace$, при этом $a_x = x_2-x_1, a_y = y_2-y_1, a_z = z_2-z_1$.
Также вектор можно разложить по ортам: $\mathbf{a} = a_x\mathbf{i} +a_y\mathbf{j} + a_z\mathbf{k}$
Когда приступил к изучению теории поля, увидел совершенно новую и пока не очень понятную запись:
$\mathbf{a}(x;y;z) = P(x;y;z)\mathbf{i} + Q(x;y;z)\mathbf{j} + R(x;y;z)\mathbf{k}$
Я хотел бы разобраться с этой записью также для двумерного и одномерного случаев:
$\mathbf{a}(x;y) = P(x;y)\mathbf{i} + Q(x;y)\mathbf{j}$
$\mathbf{a}(x) = P(x)\mathbf{i}$
В учебнике написано, что $P, Q, R$ - это координаты в данной форме записи, а в примерах видно, что это какие-то функции, например: $P(x;y) = 2x-y$ и $Q(x;y) = y^2$.
Я не могу понять, как функции могут быть координатами...
Помогите разобраться.

[Утундрий]

Solaris86 в сообщении #1475726 писал(а):

Когда приступил к изучению теории поля, увидел совершенно новую и пока не очень понятную запись:
$\mathbf{a}(x;y;z) = P(x;y;z)\mathbf{i} + Q(x;y;z)\mathbf{j} + R(x;y;z)\mathbf{j}$

Просто вектор, зависящий от трёх параметров $x,y,z$. В скобках стоит простой перечень, так что обычно используют запятую, а не точку с запятой.

[Brukvalub]

Solaris86 в сообщении #1475726 писал(а):

Я не могу понять, как функции могут быть координатами...

Есть область в пространстве, на плоскости или еще где. В каждой точке этой области задан вектор, но он не постоянен, а может быть разным в разных точках. Тогда его координаты тоже могут быть разными в разных точках области, тем самым они являются функциями точки области. Такая конструкция называется векторным полем в области.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1475726 писал(а):

Я не могу понять, как функции могут быть координатами...

Тут не один вектор $\mathbf{a}$, а много: для каждой точки $(x,y,z)$ вектор $\mathbf{a}(x,y,z)$ свой. Поэтому и говорят - векторное поле. Чтобы найти координаты вектора $\mathbf{a}(x,y,z)$, соответствующего некоторой точке $(x,y,z)$, нужно подставить эту точку $(x,y,z)$ в функции $P,\,Q,\,R$.

[Утундрий]

Solaris86 в сообщении #1475726 писал(а):

Я не могу понять, как функции могут быть координатами...

А пуркуа бы и не па? (с) Координаты - просто числа. Их можно назначать как угодно. В том числе и задавать в виде функций каких-то других чисел.

Когда этих "других" ровно столько, сколько векторов базиса, и вдобавок выполнена ещё парочка хороших/годных условий - получаются страшные и ужасные "криволинейные координаты". Видимо, куда-то туда пособие и вело.

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1475726 писал(а):

Пусть дан вектор $\mathbf{a}$.

Совсем по рабоче-крестьянски.
Вам дан не один вектор $\mathbf{a}$, а целая куча таких векторов - в каждой точке пространства\области пространства свой.

[Утундрий]

Только не надо смешивать пространство параметров (где бегают $x,y,z$) и векторное пространство, где бегает конец $\mathbf{a}$.

[Brukvalub]

Утундрий в сообщении #1475739 писал(а):

Только не надо смешивать пространство параметров (где бегают $x,y,z$) и векторное пространство, где бегает конец $\mathbf{a}$.

Как может бегать в векторном пространстве точка - конец вектора?

[pogulyat_vyshel]

ну и строго говоря для разных $(x,y,z)$ векторные пространства тоже разные

[Утундрий]

Brukvalub в сообщении #1475741 писал(а):

Как может бегать в векторном пространстве точка - конец вектора?

Ну, на самом деле оно аффинное. Это так важно?

[Brukvalub]

Утундрий в сообщении #1475754 писал(а):

Ну, на самом деле оно аффинное. Это так важно?

Мне - не важно. А вот начинающий может и запутаться.

[Утундрий]

Если учитывать всякие тонкости, то запутается с большей вероятностью.

[Solaris86]

Попробую сформулировать понятным мне языком.
Пусть есть вектор $\mathbf{a}$ в $\mathbb{R}^n$. Его можно разложить по ортам: $\mathbf{a} = a_{x^1}\mathbf{e_1} +a_{x^2}\mathbf{e_2} + ... + a_{x^n}\mathbf{e_n}$
Пусть есть векторное поле в $\mathbb{R}^n$. Тогда каждой точке этого поля соответствует вектор $\mathbf{a}(x^1, x^2,...,x^n)$. Например, точке $M_0(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0)$ будет соответствовать вектор $\mathbf{a}(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0) = a_{x^1}(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0)\mathbf{e_1} +a_{x^2}(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0)\mathbf{e_2} + ... + a_{x^n}(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0)\mathbf{e_n}$, где $a_{x^1}(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0) = f_1(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0), a_{x^2}(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0) = f_2(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0),..., a_{x^n}(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0)= f_n(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0)$ - проекции вектора (координаты вектора) $\mathbf{a}(x^1, x^2,...,x^n)$ в точке $M_0$ на оси $Ox^1, Ox^2,...,Ox^n$, а значения этих функций $f_1(x^1,x^2,...,x^n), f_2(x^1,x^2,...,x^n),...,f_n(x^1,x^2,...,x^n)$ в точке $M_0$ будут отображаться на оси $Ox^{n+1}$ в $\mathbb{R}^{n+1}$.
Так?

[Mikhail_K]

Solaris86
Вплоть до самой последней фразы, в общем, всё так. Только несколько замечаний:

Solaris86 в сообщении #1475797 писал(а):

Тогда каждой точке этого поля

Правильнее говорить: "каждой точке пространства $\mathbb{R}^n$". (А если векторное поле задано не на всём $\mathbb{R}^n$, а только на некоторой области $G\subset\mathbb{R}^n$, то "каждой точке области $G$").

Solaris86 в сообщении #1475797 писал(а):

проекции вектора (координаты вектора) $\mathbf{a}(x^1, x^2,...,x^n)$ в точке $M_0$

Я бы сказал здесь: "координаты вектора $\mathbf{a}(x^1_0, x^2_0,...,x^n_0)$".
И да, вместо $a_{x^1},\ldots,a_{x^n}$ чаще всего пишут просто $a_1,\ldots,a_n$ - хотя это конечно непринципиально.

Solaris86 в сообщении #1475797 писал(а):

а значения этих функций $f_1(x^1,x^2,...,x^n), f_2(x^1,x^2,...,x^n),...,f_n(x^1,x^2,...,x^n)$ в точке $M_0$ будут отображаться на оси $Ox^{n+1}$ в $\mathbb{R}^{n+1}$

А вот это - совершенно не так. Откуда взялось пространство $\mathbb{R}^{n+1}$?

Представить себе векторное поле на $\mathbb{R}^n$ можно так. Представьте пространство $\mathbb{R}^n$, и пусть из каждой точки этого пространства торчит свой вектор. В этом же самом пространстве. <На самом деле, не обязательно в этом же, и может, вообще эти векторы находятся в разных пространствах - но об этом Вам сейчас задумываться не стоит.> Тогда как раз и получится, что каждой точке $M_0(x^1_0,x^2_0,...,x^n_0)$ соответствует свой вектор $\mathbf{a}(x^1_0, x^2_0,...,x^n_0)$. Никакого $n+1$-го измерения здесь не нужно.

[Утундрий]

Solaris86 в сообщении #1475797 писал(а):

Пусть есть векторное поле в $\mathbb{R}^n$. Тогда каждой точке этого поля соответствует вектор $\mathbf{a}(x^1, x^2,...,x^n)$.

А что такое "точка векторного поля" и как она умудрилась оказаться не вектором?