Ошибка Больцмана

[realeugene]

Walker_XXI в сообщении #1475431 писал(а):

Чисто формально, но... Без каких-либо комментариев произведена подмена.

Да, разумеется, но чисто формально эта подмена произошла в посте ТС, на который я отвечал.

На самом деле, в контексте этой задачи, полная энергия равна кинетической.

[amon]

realeugene в сообщении #1475432 писал(а):

На самом деле, в контексте этой задачи, полная энергия равна кинетической.

Это Вы в полемическом угаре ляпнули. Существует внешняя сила, мотающая мелкий диск по крупному туда-сюда, она, вообще говоря, совершает работу, значит, вообще говоря, энергия не сохраняется. Сохраняется обобщенный импульс, соответствующий угловой координате.

[realeugene]

amon в сообщении #1475438 писал(а):

Существует внешняя сила, мотающая мелкий диск по крупному туда-сюда, она, вообще говоря, совершает работу, значит, вообще говоря, энергия не сохраняется.

Всё же полная энергия равна кинетической, а внешняя сила её может изменять. В исходной задаче с массивным малым диском - не сохраняется, в эквивалетной задаче с нулевой массой малого диска (но с исходным моментом инерции), в которой внешняя сила равна нулю - сохраняется.

Если совсем на пальцах, то движение малого диска по радиусу большого полностью задаётся снаружи, как и кинетическая энергия его центра масс, контактные силы не зависят от массы этого диска, так что, можно её обнулить, сохранив момент инерции, это не повлияет на движение. Если формальнее, то единственно возможное одномерное виртуальное перемещение в исходной задаче связывает углы поворота дисков без перемещения по радиусу, и в получающееся уравнение д'Аламбера-Лагранжа с проекцией сил на это возможное перемещение входит только момент инерции, но не масса этого диска, так что, в задаче с нулевой массой диска и прежним моментом инерции получится то же самое уравнение, которое будет иметь то же самое решение.

[amon]

realeugene в сообщении #1475440 писал(а):

Всё же полная энергия равна кинетической, а внешняя сила её может изменять.

Здоровье человека сохраняется, а болезни и смерть могут его изменять. ;) Я понимаю, что Вы сказать хотите, и, IMHO, просто переписал это чуть аккуратнее на формулах.

[realeugene]

amon в сообщении #1475443 писал(а):

IMHO, просто переписал это чуть аккуратнее на формулах.

А так можно переписывать в случае неголономной связи?

Здоровье человека, разумеется, сохраняется, при отсутствии смерти и болезней.

[amon]

realeugene в сообщении #1475444 писал(а):

А так можно переписывать в случае неголономной связи?

Так связь-то голономная.

[realeugene]

amon в сообщении #1475447 писал(а):

Так связь-то голономная.

Два перемещения. Сначала крутим малый диск на 90 градусов влево, потом перемещаем его на метр по радиусу, потом крытим на 90 градусов вправо. И второе перемещение - сначала крутим вправо, потом влево. Мы приходим к разным углам поворота большого диска при одном и том же угле поворота малого. На самом деле, при достаточно сложном ненулевом заданном перемещении $\rho(t)$ в конечном состоянии можно получить произвольные углы поворота дисков в заданный момент времени. Где же голономность связи?

[amon]

realeugene в сообщении #1475450 писал(а):

Где же голономность связи?

Здесь:

$$\omega=\Omega\frac{\rho}{r}.$$

В системе было три степени свободы: два поворота и перемещение (есть еще связи, но они тривиальные). Связь связывает два поворота и перемещение так, что один из поворотов выражается через другой и перемещение. Остается две степени свободы, и, соответственно, система описывается двумя уравнениями (при заданных силах).

[realeugene]

amon в сообщении #1475455 писал(а):

Связь связывает два поворота и перемещение так, что один из поворотов выражается через другой и перемещение.

Голономная связь должна однозначно связывать координаты, а не скорости, насколько я помню.

[amon]

realeugene в сообщении #1475457 писал(а):

Голономная связь должна однозначно связывать координаты

$v(0)=0$ - связь, обеспечивающая качение колеса без проскальзывания. Голономность-неголономность это, насколько я понимаю, возможность избавиться от связи путем введения соответствующих обобщенных координат. В данной задаче такая возможность присутствует по полной.

К стати, формулки, которые я привел, это не строгое доказательство, а иллюстрация к Вашим (нашим) правдоподобным рассуждениям. Строго надо показывать, что сила, двигающая колесо заданным образом действительно не зависит от угловой скорости.

[realeugene]

amon в сообщении #1475460 писал(а):

Строго надо показывать, что сила, двигающая колесо заданным образом действительно не зависит от угловой скорости.

Через школьную физику это показывается тривиально. Но всё равно не вижу нужных координат для голономности связи.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1475427 писал(а):

Забудем на время про то, что $\rho$ как-то фиксированным образом бегает и напишем функцию Лагранжа для свободной системы. Связь

$$\omega=\Omega\frac{\rho}{r}$$

Думаю, что Больцман примерно так сперва и рассуждал. Так нельзя делать.
Без всякого лагранжева формализма, задача допускает элементарное решение: выписываем теорему об изменении кин. момента для каждого диска в проекции на его ось.

amon в сообщении #1475447 писал(а):

Так связь-то голономная.

Если $\rho=const$ то голономная, а вообще надо рассматривать форму $rd\psi-\rho(t)d\varphi$ в пространстве переменных $(t,\psi,\varphi)$ -- где последние две переменные это углы поворота дисков. Это неголономная связь.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475487 писал(а):

Так нельзя делать.

Это условие отсутствия проскальзывания, данное вами в условии задачи.

-- 23.07.2020, 18:38 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1475487 писал(а):

Без всякого лагранжева формализма, задача допускает элементарное решение: выписываем теорему об изменении кин. момента для каждого диска в проекции на его ось.

Которые изменяет только сила в точке контакта, совершающая работу и передающаю кинетическую энергию вращения одного диска вращению другого? Вот, вы пришли к тому же сохранению энергии вращения дисков, другим путём.

[Ignatovich]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475487 писал(а):

Думаю, что Больцман примерно так сперва и рассуждал. Так нельзя делать.
Без всякого лагранжева формализма, задача допускает элементарное решение: выписываем теорему об изменении кин. момента для каждого диска в проекции на его ось.

Мне кажется, что вы неправильный ответ на эту задачу одобрили.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475487 писал(а):

Думаю, что Больцман примерно так сперва и рассуждал. Так нельзя делать.

К черту подробности. Ответ

$$\Omega=\frac{\operatorname{const}}{\sqrt{MR^2+m\rho^2}}$$

правильный?