Ошибка Больцмана

[pogulyat_vyshel]

В одной из своих работ (1885) Больцман рассмотрел следующую систему.

Два однородных диска радиусов $R,r$ и масс $M,m$ могут без трения вращаться вокруг своих осей $$OA$ и $AB$ соответственно. Оси неподвижны и перпендикулярны. Длина отрезка $AB$ является заданной функцией времени: $AB=\rho(t)$.
В точке $C$ диски касаются друг друга. Причем вдоль оси $AB$ трения между дисками нет, а в перпендикулярном направлении нет проскальзывания.
(Т..е вращение от одного диска другому передается так, как еслиб расстояние $AB$ было постоянным.)
Больцман неверно написал уравнения движения этой системы. Однако, через 17 лет исправил свою ошибку.
Задача: написать уравнения движения системы правильно и проинтегрировать их.

[realeugene]

(ответ)

$$\Omega=\frac{\operatorname{const}}{\sqrt{MR^2+m\rho^2}}$$

Скорости вращения дисков связаны кинематически, кинетическая энергия вращения дисков сохраняется.

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1475392 писал(а):

Скорости вращения дисков связаны кинематически, кинетическая энергия вращения дисков сохраняется.

из первого не вытекает второе

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475401 писал(а):

из первого не вытекает второе

Не вытекает, но скорость поступательного движения малого диска задана, равно, как и кинетическая энергия его поступательного движения. Так что, можно рассмотреть эквивалентную задачу, в которой масса малого диска нулевая при сохранении его момента инерции. Так как трения между дисками вдоль AB нет, то и сила в этом направлении в точке контакта равна нулю. Тогда сила, обеспечивающая перемещение малого диска, тоже нулевая по третьему закону Ньютона, и её работа нулевая. Работа внешних сил равна нулю - кинетическая энергия сохраняется.

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1475407 писал(а):

скорость поступательного движения малого диска задана,

а с чего вы взяли, что он движется поступательно?

realeugene в сообщении #1475407 писал(а):

Так что, можно рассмотреть эквивалентную задачу, в которой масса малого диска нулевая при сохранении его момента инерции.

Почему эквивалентную?

realeugene в сообщении #1475407 писал(а):

Работа внешних сил равна нулю - кинетическая энергия сохраняется.

из первого не следует второе.
В этот раз вы ответ угадали правильно, но это не значит решить задачу. А вот тут: http://dxdy.ru/post1475124.html#p1475124 аналогичный поток сознания был уже после приведенного ответа и решения, поэтому я там и комментировать не стал.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475410 писал(а):

а с чего вы взяли, что он движется поступательно?

Да, он ещё и вращается. Под "поступательным движением" я подразумевал скорость центра масс и его кинетическую энергию.

pogulyat_vyshel в сообщении #1475410 писал(а):

из первого не следует второе.

Следует, так как это обычная физика с обычными координатами. В ней энергия сохраняется.

pogulyat_vyshel в сообщении #1475410 писал(а):

В этот раз вы ответ угадали правильно, но это не значит решить задачу.

Это олимпиадный раздел форума, а не экзамен, здесь не требуется решать задачи именно так, как задумал преп. Но если вы не видите внутреннюю связь того, что я делаю, с принципом Д’Аламбера-Лагранжа, за напоминание которого вам спасибо - то это вы её не видите, а не я. Вспомните обычную физику, общие методы теормеха хороши, но часто можно обойтись и без них.

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1475411 писал(а):

Следует, так как это обычная физика с обычными координатами. В ней энергия сохраняется.

Так вот представьте себе, что из равенства нулю работы внешних сил не следует, что энергия системы сохраняется. Грубая ошибка.

realeugene в сообщении #1475411 писал(а):

Вспомните обычную физику, общие методы теормеха хороши, но часто можно обойтись и без них.

я помню, только ваша "аргументация" не имеет отношения и к обычной физике тоже. У вас, простите, с законом сохранения энергии проблемы.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475414 писал(а):

Так вот представьте себе, что из равенства нулю работы внешних сил не следует, что энергия системы сохраняется. Грубая ошибка.

Приведите, пожалуйста, пример несохранения полной энергии системы при отсутствии работы внешних сил.

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1475415 писал(а):

Приведите, пожалуйста, пример несохранения полной энергии системы при отсутствии работы внешних сил.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475416 писал(а):

Бла-бла-бла?

[amon]

$\Omega$ - циклическая координата, соответственно есть интеграл движения, написанный уважаемым realeugene. (Это - что бы не подрались ;)

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1475418 писал(а):

$\Omega$ - циклическая координата, соответственно есть интеграл движения, написанный уважаемым realeugene.

Это неверно.

[realeugene]

pogulyat_vyshel

так ваш пример будет? Очень интересно, что вы в него засунете, что вы сами в условии задачи описали только частично, но отсутствие чего в подобных механических задачах всегда подразумевается: проскальзывание в точках контакта, упругость, электромагнетизм, химические превращения тел, ядерный распад, гравитацию между телами?

Ах, да, конечно же, трение качения!

-- 23.07.2020, 15:07 --

amon в сообщении #1475418 писал(а):

соответственно есть интеграл движения

К сожалению, диски можно прокатать друг по другу и вернуть всё к тому же начальному состоянию малого диска при повёрнутом большом.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1475420 писал(а):

Это неверно.

Забудем на время про то, что $\rho$ как-то фиксированным образом бегает и напишем функцию Лагранжа для свободной системы. Связь

$$\omega=\Omega\frac{\rho}{r}$$

Лагранжиан

$$L=\frac{I_1\Omega^2}{2}+\frac{I_2\Omega^2\rho^2}{2r^2}+\frac{m\dot{\rho}^2}{2}$$

Теперь вспомним что забыли. Что бы получить заданное $\rho(t)$ надо добавить нечто, зависящее только от $\rho$ и не затрагивающее угловые координаты, значит

$$\frac{d}{dt}\left(I_1\Omega+\frac{I_2\Omega\rho^2}{r^2}\right)=0$$

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1475407 писал(а):

Работа внешних сил равна нулю - кинетическая энергия сохраняется.

realeugene в сообщении #1475415 писал(а):

Приведите, пожалуйста, пример несохранения полной энергии системы при отсутствии работы внешних сил.

Чисто формально, но... Без каких-либо комментариев произведена подмена.